钢管订购与运输问题一的数学模型与求解(2)

(x)dx+

∫f

3Ej

j

(x)dx

=(fi(ej)-fj(ej))-(fi(ei)-fj(ei))<0

　　目标函数值减小,与最优解矛盾.

推论8　设B<H=[0,3325],ΛB<si,若

[fi(x)-fj(x)]>max[fi(x)-fj(x)],则E3j∩minB=<x∈H Bx∈B

3

证明　否则,存在xj∈E3j∩B,由ΛB<si,存在xi∈Ei∩(H B),使得

.fi(xi)-fj(xi)>fi(xj)-fj(xj),与定理7矛盾

由推论8易得:

推论9　设B<H=[0,3325],ΛB<si,若对任意j≠i有

min[fi(x)-fj(x)]>max[fi(x)-fj(x)]x∈H Bx∈B

则B<E3i.

钢管订购与运输问题一的数学模型与求解

358数　学　的　实　践　与　认　识

表2　差价函数的取值

f2-f1

f3-f1

f5-f1

f6-f1

f3-f2

32卷

[0,179][179,687][687,1771][1771,2236][2236,2262][2262,2536][2536,2600][2600,3200][3200,3325][3325,5171]

40,44.945,67.96838.1,77.962.9,67.945,62.745454545

f5-f2

5555,77.97878.2,87.977.9,82.955.1,77.742.3,54.9-21,42.1-21-21,-15

f6-f2

8080,102.9103103.2,112.9102.9,107.985,102.773.3,854.1,73.1-20.9,3.9-68,21.1

ff3

8585,107.9108108.2,117.9107.9,112.986.1,107.773.3,85.94.1,73.1-20.9,3.9-127,-21.1

ff10.1,15101010,151510.1,15-2.7,9.9-66,-2.9

-66-66,60

f6-[0,179][179,687][687,1771][1771,2236][[2536,2600][2600,3200][3200,3325][3325,5171]

35.1,40353535,28.3,40-40.9,28.1-65.9,-41.1-113,-66.1

40.1,4540404541.1,4528.3,40.9-40.9,28.1-65.9,-41.1-172,-66.1

252525,29.9注(1)30.1,3125.1,310.1,24.9-45,-0.1

30303030,313125.1,310.1,24.9-112,-0.1

555551.1,50,0.900-67,13注(2)

　　注:1)f5-f3在[2262,2511]上取值为25,在[2511,2536]上取值为[25.1,29.9];2)f6-f5在[3325,3551]上取值为0,在[3551,3966]上取值为[0.1,13],在[3966,5171]上取值为[-67,-0.1];3)表中给出了差价函数在区间上的最小值与最大值.

定理10　[3200,3325]<E35

证明　对于模型3,取ΛE3.63=0,令B=(3200,3325],由推论9可得

定理11　[2536,3200]<E33

证明　仍对模型3中[2536,3200]段进行分析,由max[f3(x)-fi(x)]<

x∈[2536,3200]

[f3(x)-fi(x)](i=1,2),根据推论8,可得

Ei∩[2536,3200]=<(i=1,2)

3

x∈[0,2536]

min

同理,根据表2及注1)

x∈[2511,3200]

max

[f3(x)-f5(x)]<

x∈[0,2511]

min

[f3(x)-f5(x)]可得E35∩

[2511,3200]=<,从而[2536,3200]<E33.

类似可得定理12:

定理12　[1711,2236]<E31

定理13　E31<[687,2236]

钢管订购与运输问题一的数学模型与求解

3期杨振华等:钢管订购与运输问题一的数学模型与求解359

证明　若E3[687,2236],1 1)E3.由2∩[687,2236]=<.f2(x)]及定理7可得

x∈[687,2236]

min

[f1(x)-f2(x)]>

x∈[0,687]∪[2236,2536]

max

[f1(x)-

2)E3,由1)与前面的定理,E32∩[179,687]≠<2<[0,687]∪[2236,2536](这是尚未确

定分配的全部路线),又ΛE3.2=800可知

3333

3)(E33∪E5)∩[687,1771]≠<,模型3中ΛE63=0=ΛE43=ΛE73,由[687,1771]∪

333

[1771,2236]<E3.1∪E3∪E5,及ΛE1=800可知

3

4)不妨设E33∩[687,1771]≠<(若E5∩[687,1771]≠<类似可证)取单位区间e1,e2,

e3,使

e1<E1 [687,2236],e2<E2∩[179,687],e3<E3∩[687,1771],

33

令E3=e3∪(E3=e1∪(E3=e2(E31′1 e1),E2′2 e2),E3′3 e3),其余不变,则

3

3

3

f(x)dx+∫f(x)dx+∫f

-∫f(x)dx+∫f(x)dx+f

13

E1′

23

E2′

3E1

33

E3′

(x)dx((f2(e3)-f1(e3))

1

3E2

2

33

=(f2(e3)-f3(e3))((e2)fe2))+(f1)f1(e1))-2(e2)-f3(e2))=0,

f1(e3))>(f2(e1)-

e2<[179,3[[]上f2(x)-f3(x)为常数,所以

(f((e3)又1<[687]∪[2236,2536],f2(e3)-f1(e1)),

,与最优性矛盾.定理13证毕.

由于在[687,1771]上fi(x)-f1(x)(i=2,3,5)为常数,所以取其中任意区间为E31不影响目标函数值,为使调运方案简单,我们可取E31=[1436,2236]

定理14　[0,179]∪[2236,2536]<E32证明　由

min[fi(x)-f2(x)]>

x∈[0,179]∪[2236,2536]

x∈[179,1771]

max[fi(x)-f2(x)](i=3,5)[f1(x)-f2(x)]

及易得.

x∈[0,179]∪[2236,2536]

min[f1(x)-f2(x)]>

x∈[687,1771]

max

33

由于在区间[179,1771]上,fi(x)-fj(x)(i,j=2,3,5)为常数,在此区间上,E32,E3,E5

选取,只要各自长度不变,总费用不变,为使调度方案简单,取最优解为:

E1:[1436,2236]

E2:[0,500],[2236,2536]E3:[500,836]∪[2536,3200]E5:[836,1436]∪[3200,3966]E6:[3966,5171]

3333

3

其中,在区间[3325,3551]上f5(x)=f6(x),所以这一部分的钢管可由S5厂也可由S6厂供应.此时,目标函数值为112786316×106万元.

注1)若在管道上取运输x单位钢管费用为

2

,进而求得单位费用为

2

,于是

钢管订购与运输问题一的数学模型与求解

360数　学　的　实　践　与　认　识32卷

得

fi(x)=minqij+0.1(x-aj)+

,qi,j+1+0.1(aj+1-x)+22

所得最优解集与原问题的最优解集不完全一致,但上述最优解也是该费用函数之下的最优

解,其最优函数值为1127863155×106万元.

2)若不考虑“不足一公里按一公里计算”,费用按连续函数计算,取

fi(x)=min(qij+0.1(x-aj),qi,j+1+0.1(aj+1-x))所得最优解集与原问题的最优解集不完全一致,但上述最优解也是该费用函数之下的最优解,其最优函数值为11278373×106万元.

参考文献:

[1]　郭跃华,杨振华.钢管订购与运输问题三的数学模型与灵敏度分析[J]1数学的实践与认识,2001,1.

MathematicalModelOne

ofSteelTube

112

2,　HUGuo2lei,　GUOYue2hua

(1.NanjingUniversityofPosts&Telecommunications,Nanjing210003,China)(2.NantongInstituteofTechnology,Nantong226007,China)

Abstract:　Inthispaper,weestablishthemathematicalmodelofproblemoneofproblemBof2000ChineseUndergraduateMathematicalContestinModeling——orderandtransportofsteel.tube.Thenwegivetheexactsolutionofthismodel

Keywords:　mathematicalmodel;order;transport;steeltube