第五章_晶体的能带理论

第五章 晶体中电子能带理论1.孤立原子中电子受原子束缚，处于分立能级； 晶体中的电子不再束缚于个别原子，而是在一 个周期性势场中作共有化运动。在晶体中该类 电子的能级形成一个带。 2. 晶体中电子的能带在波矢空间具有反演对 称性，且是倒格子的周期函数。

3. 能带理论成功的解释了固体的许多物理特 性，是研究固体性质的重要理论基础。1

本章主要内容§5.1 布洛赫波函数 §5.2 一维晶格中的近自由电子 §5.3 一维晶格中电子的布喇格反射 §5.4 平面波法 §5.5 布里渊区 §5.6 紧束缚法 §5.7 正交化平面波 赝势 §5.8 电子的平均速度 平均加速度和有效质量 §5.9 等能面 能态密度 §5.10 磁场作用下的电子能态 §5.11 导体 半导体和绝缘体2

§5.1 布洛赫波函数一、布洛赫(Bloch)定理1、布洛赫定理 晶体中电子波函数是按晶格周期调幅的平面波， 电子波函数具有以下形式k 电子的波矢

k ( r ) eik r uk ( r )uk (r ) uk r Rn

Rn 格矢

其中

Rn n1a1 n2a2 n3a33

2、布洛赫定理的证明 H ( r ) (r ) V (r ) 2.1 单电子近似 2m2 2

固体中存在大量电子，它们的运动是相互关联的，是 个多体问题； 可将多体问题简化为单电子问题，把每个电子运动看 成是独立地在一个等效势场V(r)中运动； 单电子近似的步骤：

(1)假定晶体中原子实固定不动，电子运动和晶格振 动分开；(Born-Oppenheimer approximation)(2)假定电子间相互作用可用某种平均作用来代替， 作用在每个电子上的势场只与该电子的位置有关，与 其它原子的位置和状态无关。V(r)4

等效势场V(r)的性质由于晶格周期性，晶体中等效势场V(r)具有晶格 的周期性：

V (r) V (r Rn )

2.2 哈密顿算符具有平移对称性 在直角坐标系中r xi yj zk

2 (r ) H 2 (r ) V (r ) 2m

r Rn ( x Rnx )i ( y Rny ) j ( z Rnz )k2 2 2 2 (r ) 2 2 2 x y z

哈密顿算符2 (r ) H 2 (r ) V (r ) 2m 2 2 2 2 [ ] V (r Rn ) 2 2 2 2m ( x Rnx ) ( x Rny ) ( x Rnz )

2 2 (r R ) ( r Rn ) V ( r Rn ) H n 2m

哈密顿函数具有晶格的平移对称性

2.3 电子波函数的特点 (1)波函数 (r)是哈密顿算符和平移对 称操作算符的共同本征函数

任意一个函数f(r)经过平移算符作用后变为 ( R ) f ( r ) f ( r R ) T n n

平移对称操作算符作用在薛定谔方程左边

( R )H (r) (r) H (r R) (r R ) H (r)T ( R ) (r) T n n n平移对称算符与哈密顿算符对易。8

( R ) 本征值 (2) T n ( R ) ( r )

( r R ) ( R ) 由 T n n n (r )

本征值 (Rn)必须满足等式

(r Rn ) ( Rn ) (r)根据平移特点Rn=2a1+2a2+2a3

( R ) T ( n a n a n a ) O T n 1 1 2 2 3 3 (n a )T (n a )T (n a ) T 1 1 2 2 3 3

a3

a2 a1

2

(a )]n1 [T (a )]n2 [T (a )]n3 [T 1 2 39

O

1

可以得到 即

( R ) [T ( a )] n1 [ T ( a )] n2 [ T ( a )] n3 T n 1 2 3

( R ) (r) ( R ) (r) [ (a )]n1 [ (a )]n2 [ (a )]n3 (r) T n n 1 2 3

( Rn ) [ (a1 )]n [ (a2 )]n [ (a3 )]n1 2

3

设晶体在a1、 a2、a3三个方向各有个N1、N2、N3 个原胞，利用周期性边界条件有

(r ) (r N1a1 ) ( N a ) (r) [ (a )]N1 (r) (r N a ) (r) T 1 1 1 1 1[ (a1 )]N1 1

( a1 ) ei 10

为了将 与a1对应起来，令 =k1· a1,代入 (a1 ) el1为整数

i

eiN1k1 a1 1

N1k1 a1 2 l1

b1 a1 2

l1 取 k1 b1 满足上式，得到 N1

( a1 ) e

i

l1 b1 a1 N1

同理可以得到l k2 2 b2 N2 l3 k3 b3 N3

( a2 ) e ( a3 ) e

i

l2 b2 a 2 N2l3 b3 a3 N3

i

具有波矢的意义

l3 l1 l2 k k1 k2 k3 b1 b2 b3 N1 N2 N3

简约波矢，对应平移操作算符本征值量子数， 物理意义是原胞之间电子波函数的位相变化。

a3 a O

ik1 a1 ( a ) T ( r ) 1 ( r ) ( r a1 ) e

2

a1 O

O 波函数

O波函数12

( Rn ) [ (a1 )]n [ (a2 )]n [ (a3 )]n1 21 1

3

( a1 ) eik a , ( a2 ) eik a , ( a3 ) eik a Rn n1a1 n2 a2 n3a32 2 3

3

( Rn ) eik R

n

晶体中电子波函数满足方程 ( R ) ( r ) ( r R ) eik Rn ( r ) T n n本征值13

(3) 电子波函数是按晶格周期调幅的平面波 ( r Rn ) eik R ( r )n

!构造波函数

平面波 ( r ) e

ik r

满足h

当波矢k增加一个倒格矢 Kh h1b1 h2b2 h3b3 i( k K ) r ( r ) e 平面波 也满足 ( r ) e 证明：右i( k K h ) r

左

( r Rn ) ei( k K

h

) ( r Rn )

eik Rn ei( k K h ) r eik Rn iK h Rn ei( k K h ) r ei( k K h ) ( r Rn )14

( r ) ei ( k K

h

) r

电子的波函数可取为这些平面波的线性叠加 k ( r ) a( k K h )ei( k Khh

) r

eik r a( k K h )eiK h rh

a( k Kh

h

)eiK h r uk ( r )

uk (r Rn ) uk (r )

k( r ) eik r uk ( r )

电子波函数是按晶格周期调幅的平面波15

二、简约布里渊区布洛赫函数 k(r)与 k+Kn(r)描述同一电子态uk ( r ) a( k K h )eiK h rh

k ( r ) eik r uk ( r )

uk Kn ( r ) a( k K n K h )eiK h r a( k K l )ei( Kl

K n ) rl h

k态和k+Kn态实际是同一 电子态

k K ( r ) ei( k Kn

n

) r

uk Kn ( r )

eik r a(k K l )eiK l r k (r )l16

本征函数与本征值同一个电子态对应同一能量E( k ) E( k K n )

即

(r) (r) E(k) (r) H k k

(r ) H k Kn ( r ) k Kn ( r ) E( k )

同一个本征值E(k),有无数个本征函数 k+Kn(r) 。

简约布里渊区

为了使本征函数与本征值一一对应，即使电子 的波矢k与本征值E(k)一一对应，必须把波矢的 取值限制在一个倒格原胞区间内bi bi ki 2 2 i 1,2 ,3

这个区间为简约布里渊区或第一布里渊区。

b3

O

b2 b1

简约布里渊区