几种特殊类型行列式及其计算(3)

0 a bbx3

bbb xn bbbb b

x3

x1 ab a

0 b a0

0

aa

a xn b Dn 1. b

x2 a

b a0

xn 1 aa

化简得

Dn b 1x a

2

x

a

n 1

x

a

n

x

n1

b. D 1

而若一开始将xn拆为a xn a，则得

Dn a 1x b

2

x

b

n 1

x

b

n

x

n1

a. D 2

由 1 xn b 2 xn a ，得

n 1 n

Dn ax b bx a i . j

a b i 1j 1

有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算.

例3 计算行列式

dcDn c

c

aa

解 将第一行 ，第一列 ，得

bc

bxaa

baxa

baa n 2 . x

a2d

bcbcaDn 2

aa

a

axaa

6

aaxa

aaax

.

即化为上2 1 情形，计算得

Dn d x a

n 1

n 1 ad bc x a

n 2

.

而对于一些每行(列)上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公共因子的，则用升阶法[8]来简化.

例4 计算行列式

x12

Dn

x2x1 xnx1

解 将行列式升阶，得

x1x2 xnx2x1x2x1 xnx1

x1xnx2xn

.

1 x22

1 xn2x2x1x2 xnx2

xnx1xnx2xn.

1

Dn 0

01 x120

1 x22

1 xn2

将第i行减去第一行的xi i 2, ,n 倍，得

1 x1

Dn x2

xn

n

x1100

x2 xn010

00. 1

这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得

xi2

i 1

x1100

x2 xn01

Dn

00 0

n

1

1 xi2.

i 1

2.3 两条线型行列式

这类行列式的特征是除了主(次)对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个

7

顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元素全为0的，自然也直接展开降阶计算.

例5 计算行列式

a1b1

a2

b2

Dn

. an 1bn 1

bn

an解 按第一行展开可得

a2b2

b1 a3

b3

a2

b2

Dn a1

bn 1 1 n

an 1bn 1

an 1

bn 1

an

an 1 an 1

1a2 an 1

bb1 2bn.

例6 计算行列式

an

bn

an 1

bn 1

Da1b12n

c.

1

d1

cn 1

dn 1

cn

dn

解 方法1 直接展开可得

an 1

bn 1

00

an 1

a1

b1a1D2n an

c1

d1

bn 1

1 2n

c1

cn 1dn 1

cn 1

dn

cn

8

bn 1

bn 1

b1d1

dn 10

an 1

andn

cn 1

andn bncn D2 n 1 .

bn 1

a1c1

b1d1

dn 1

bncn 1

2n 1 1

an 1

a1c1

cn 1

b1d1

bn 1

dn 1

则

D2n andn bncn D2 n 1 andn bncn an 1dn 1 bn 1cn 1 D2 n 2 aidi bici .

i 1n

方法2 (拉普拉斯定理法[3]) 按第一行和第2n行展开得

an 1

D2n

ancn

bndn

a1c1

cn 1

b1d1

dn 1bn 1

1

1 2n 1 2n

andn bncn D2 n 1 . 其余的同法1.

2.4 Hessenberg型行列式

这类行列式的特征是除主(次)对角线及与其相邻的斜线，再加上第1或第n行外，其他元素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行(列)元素化简到只有一个非零元素，以便于这一行或列的展开降阶计算.

例7 计算行列式

11Dn

2 12

30 2

n 100

n00 0

0

.

n 22 n

n 11 n

解 将各列加到第一列得

9

n n 1 20

Dn

0 0

2 12

30 2

n 100

n00. 0

0

n 22 n

n 11 n

按第一列展开得

1

Dn

n n 1 2

2

0 2

0

00

00 0

0

n 22 n

n 11 n

1 2.5 三对角型行列式

abca

b

n 1

n 1 !.

2

形如Dn

c b

c

a

的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其

他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展开，将所得的n 1阶行列式再展开即得递推公式. 对这类行列式用递推法[5].

例8 计算行列式

abcaDn

bc b

c

a

.

解 按第一列展开有

Dn aDn 1 bcDn 2

解特征方程x2 ax bc 0得

10

x1 x2 .

则

Dn

x

n 11

x2n 1

x1 x2

, x1 x2 .

例9 计算行列式

94Dn

59

94

59

.

解 按第一行展开得

Dn 9Dn 1 20 0.

解特征方程得

x1 4,x2 5.

则

Dn a4n 1 b5n 1.

分别使n 1,2得a 16,b 25,则

Dn 5n 1 4n 1.

2.6 各行(列)元素和相等的行列式

这类行列式的特征是其所有行(列)对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行(列)加到第一行(列)或第n行(列)，提取公因式后，再把每一行都减去第一行(列)，即可使行列式中出现大量的零元素.

例10 计算行列式

1 a1

Dn

a2 an

解 将第2行到第n行都加到第1行，得

a1 an

a1a2

.

1 a2

1 an

11

a1 an1 a1 an 1 a1 an

Dn

a2 an

1

1 a1 an

an

1

1 a1 an

00

1 a2 an1 an

110

101

a2 1 an

1

a21 a2 a2

1 an

1 a1 an .

2.7 相邻两行(列)对应元素相差1的行列式

这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行(列)元素相差1的行列 …… 此处隐藏：1876字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……