12-8高阶线性微分方程

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第八节

高阶线性微分方程

一、概念的引入 二、线性微分方程的解的结构 三、降阶法与常数变易法 四、小结 思考题

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一、概念的引入设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初 例: 设有一弹簧下挂一重物 如果使物体具有一个初 物体便离开平衡位置,并在平衡位置 始速度 v0 ≠ 0,物体便离开平衡位置 并在平衡位置 物体便离开平衡位置 附近作上下振动.试确定物体的振动规律 附近作上下振动 试确定物体的振动规律 x = x (t ).解 受力分析

1. 恢复力 f = cx;

o x

dx 2. 阻力 R = µ ; dt

x上页 下页 返回

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d2x dx ∵ F = ma , ∴ m 2 = cx µ , dt dtd x dx + 2n + k2 x = 0 物体自由振动的微分方程 dt 2 dt2

若受到铅直干扰力

F = H sin pt ,强迫振动的方程

d2 x dx + 2n + k2 x = hsin pt 2 dt dt

d 2uc duc Em 2 Lc 2 + 2β sinωt + ω0 uc = dt dt LC串联电路的振荡方程上页 下页 返回

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d y dy + P( x) + Q( x) y = f ( x) 2 dx dx

2

二阶线性微分方程

当 f ( x ) = 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f ( x ) ≠ 0时， 二阶线性非齐次微分方程

n阶线性微分方程 阶线性微分方程

y(n) + P ( x) y(n 1) + + P 1( x) y′ + P ( x) y = f ( x). 1 n n上页 下页 返回

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二、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构: 1.二阶齐次方程解的结构: 二阶齐次方程解的结构

y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = 0定理1

(1)

如果函数y1与y2是方程( )的两个解， 1那么y = C1 y1 + C2 y2也是( )的解。 1

(C1 ,C2是常数)问题: 问题:y = C1 y1 + C2 y2一定是通解吗？ 一定是通解吗？上页 下页 返回

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定义： 设y1 , y2 ,..., yn为定义在区间I内的n个函数，如果存在n个不全为零的常数， 使得当x在该区间内有恒等式成 立

k1 y1 + k 2 y2 + ... + k n yn = 0,那么称这n个函数在区间I内线性相关。

否则称线性无关。例如 当x ∈ ( ∞ , + ∞ )时， e x, x , e 2 x 线性无关 e

1,cos 2 x , sin 2 x 线性相关 ，上页 下页 返回

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特别地: 特别地

y1 ( x) 若在I上有 ≠ 常数， y2 ( x)

则函数y1 ( x)与y2 ( x)在I上线性无关。

定理2 如果y1 ( x)与y2 ( x)是方程(1)的两个线性无关的特解 ，

那么y = C1 y1 + C2 y2就是方程( )的通解。 1例如 y ′′ + y = 0,

y1 = cos x , y 2 = sin x ,y = C1 cos x + C2 sin x.上页 下页 返回

y2 且 = tan x ≠ 常数, y1

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2.二阶非齐次线性方程的解的结构: 2.二阶非齐次线性方程的解的结构: 二阶非齐次线性方程的解的结构

定理3

设y 是二阶非齐次线性方程

y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = f ( x)的一个特解，

Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解，那么y = Y + y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解。

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定理4 设非齐次方程(2)的右端f ( x

) 是几个函数之和，

如y′′ + P ( x) y′ + Q( x) y = f1 ( x) + f 2 ( x) 而y1 与y2 分别是方程 y′′ + P ( x) y′ + Q( x) y = f1 ( x) y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = f 2 ( x)的特解，那么y + y2 就是原方程的特解。解的叠加原理上页 下页 返回 1

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三、降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法 1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法 齐次线性方程求线性无关特解-----的一个非零特解， 设y1是方程 (1)的一个非零特解，

令 y2 = u( x) y1

代入(1)式, 得 代入 式

′ ′ ′ y1 u′′ + ( 2 y1 + P ( x ) y1 )u′ + ( y1′ + P ( x ) y1 + Q( x ) y1 )u = 0, ′ 即 y1 u′′ + ( 2 y1 + P ( x ) y1 )u′ = 0,

令v = u′,

′ 则有 y1v ′ + ( 2 y1 + P ( x ) y1 )v = 0,上页 下页 返回

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′ y1v ′ + ( 2 y1 + P ( x ) y1 )v = 0

v 的一阶方程降阶法

1 ∫ P ( x ) dx 1 ∫ P ( x ) dx 解得 v = 2 e , ∴ u = ∫ 2e dx y1 y1

1 ∫ P( x)dx dx, ∴ y2 = y1 ∫ 2e y1齐次方程通解为 刘维尔公式

y = C1 y1 + C 2 y1 ∫

1 ∫ P ( x )dx e dx . 2 y1上页 下页 返回

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2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法 2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法 非齐次线性方程通解求法-----设对应齐次方程通解为 y = C1 y1 + C 2 y2 设非齐次方程通解为 (3)

y = c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2

′ ′ ′ ′ y′ = c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 + c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2设

′ ′ c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 = 0

(4)

′ ′ ′ ′ ′ ′ y′′ = c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 + c1 ( x ) y1′ + c2 ( x ) y2′

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将 y , y ′, y′′ 代入方程( 2), 得′ ′ ′ ′ ′ ′ c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 + c1 ( x )( y1′ + P ( x ) y1 + Q ( x ) y1 ) + c2 ( x )( y′′ + P ( x ) y′ + Q( x ) y2 ) = f ( x ) 2 2

′ ′ ′ ′ c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 = f ( x )

(5)

′ c1 ( x ) y1 + c′ ( x ) y2 = 0 2 (4),(5)联立方程组 联立方程组 ′ ′ 2 c1 ( x ) y1 + c′ ( x ) y′ = f ( x ) 2 y1 y2 ∵ 系数行列式 w ( x ) = ≠ 0, ′ ′ y1 y2上页 下页 返回

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y2 f ( x ) ′ , ∴ c1 ( x ) = w( x )积分可得

y1 f ( x ) ′ c2 ( x ) = , w( x )

y2 f ( x ) c1 ( x ) = C1 + ∫ dx , w( x ) y1 f ( x ) c2 ( x ) = C 2 + ∫ dx , w( x )

非齐次方程通解为y2 f ( x) y1 f ( x) y = C1 y1 + C2 y2 y1 ∫ dx + y2 ∫ dx. w( x) w( x)上页 下页 返回

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x 1 例 求方程 y′′ + y′ y = x 1的通解 . 1 x 1 x x 1 解 ∵1 + = 0, 1 x 1 xy1 = e x , 由刘维尔公式 对应齐方一特解为

1 ∫ 1 xx dx x y2 = e ∫ 2 x e dx = x , e对应齐方通解为 Y = C1 x + C 2e x .上页 下页 返回

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设原方程的通解为 y = c1 ( x ) x + c 2 ( x )e x ,

′ c1 ( x ),c ′ ( x ) 应满足方程组 2

xc1 ( x ) + e x c ′ ( x ) = 0 ′ 2 c1 ( x ) + e x c ′ ( x ) = x 1 ′ 2c1 ( x ) = x + C1,

′ c1 ( x ) =

1 解得 c ′ ( x ) = xe x 2

c2 ( x ) = xe x e x + C 2

原方程的通解为 y = C1 x + C2ex x2 x 1.

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四、小结线性方程解的结构； 主要内容 线性方程解的结构； 线性相关与线性无关； 线性相关与线性无关； 降阶法与常数变易法； 降阶法与常数变易法； 补充内容y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0

可观察出 一个特解

(1) 若P ( x ) + xQ ( x ) = 0,