考点18 解三角形应用举例

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考点18 解三角形应用举例（经典）

一、填空题

1. (2013·福建高考理科·T13)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC, sin∠BAC=错误！未找到引用源。

,AB=则BD的长为

.

【解题指南】显然,sin∠BAC=cos∠BAD,用余弦定理.

【解析】sin∠BAC=错误！未找到引用源。=sin( BAD)=cos∠BAD, 2

在△BAD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=18+9-2

×3

×

所以BD=错误！未找到引用源。.

【答案】错误！未找到引用源。

二、解答题 =3, 3

2.（2013·重庆高考理科·Ｔ20）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c

，且a2 b2 c2．

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）设cosAcosB

cos( A)cos( B)，，求tan 的值． 5cos2 5

【解题指南】直接利用余弦定理可求出C的值，由和差公式及C的值通过化简可

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求出tan 的值.

【解析】

（Ⅰ）因为a2 b2 c2 3 a2 b2 c2 2abC cosC .由余弦定理有故. 42ab2ab2

（Ⅱ）由题意得(sin sinA cos cosA)(sin sinB cos cosB)2 . 5cos2

2. 5因此(tan sinA cosA)(tan sinB cosB)

(tan sinA cosA)(tan sinB cosB) 2. 5

tan2 sinAsinB tan sin(A B) cosAcosB

3 2A B , sin(A B) ,所以4422.① 5因为C

因为cos(A B) cosAcosB sinAsinB,即

解得sinAsinB 3222 . 5210322 sinAsinB , 52

由①得tan2 5tan 4 0,

解得tan 1或tan 4.

3. （2013·重庆高考文科·Ｔ18）在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b2+c2

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）设a=错误！未找到引用源。,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时B的值.

【解题指南】直接利用余弦定理可求出A的值，再利用正弦定理求解

S+3cosBcosC

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的最大值，并指出此时B的值.

b2 c2 a2 3bc 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得cosA . 2bc2bc2

5 . 6

1（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA ,又有正弦定理及a 得 2

11asinBS bcsinA asinC 3sinBsinC, 22sinA又因为0 A ,所以A

因此,S 3cosBcosC 3(sinBsinC cosBcosC) 3cos(B C).

所以,当B C,即B A

12

12时, S 3cosBcosC取最大值3.

4. （2013·山东高考理科·Ｔ17）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=.

（1）求a，c的值；

（2）求sin（A-B）的值.

【解题指南】（1）先由余弦定理b2 a2 c2 2accosB可得到ac的关系式，再和已知a+c=6联立方程，可得a，c的值；（2）由sin A B sinAcosB cosAsinB知，需先求出sinA,sinB,cosA,cosB的值，可先利用同角三角函数基本关系式求出sinB,然后由正弦定理求出sinA，进而求得cosA，从而本题得解.

【解析】（1）由与余弦定理得b2 a2 c2 2accosB，得b2 a c 2 2ac 1 cosB 又a+c=6，b=2，cosB=，所以ac=9，解得a=3,c=3.

（2）在△ABC中，sinB cos2B

由正弦定理得sinA asinB22 . b342, 97979

因为a=c，所以A为锐角. 所以cosA sin2A .

13

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因此sin A B sinAcosB cosAsinB 2271422. 393927

5.（2013·福建高考文科·Ｔ21）如图,在等腰直角 OPQ中, POQ

90, OP 点M在线段PQ上

.

（I

）若OM 求PM的长;

（II）若点N在线段MQ上,且 MON 30,问:当 POM取何值时, OMN的面积最小?并求出面积的最小值.

【解题指南】由等腰知 P 45，此时， OPM可解；第(II)问,按“求什么设什么”列式求解，将面积表达式写出，利用三角函数计算公式求解。

【解析】（Ⅰ）在 OMP中， OPM 45 ，OMOP

由余弦定理得，OM2 OP2 MP2 2 OP MP cos45 ，得MP2 4MP 3 0，解得MP 1或MP 3．

（Ⅱ）设 POM ，0 60 ，

在 OMP中，由正弦定理，得

所以OM

同理ON OPsin45 ， sin45 OMOP ， sin OPMsin OMPOPsin45 , sin75 1

2故S OMN OM ON sin MON

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1OP2sin245 4sin45 sin75 1 sin45 sin45 30

44

因为0 60 ，30 2 30 150 ，所以当 30 时，sin 2 30 的最大值为1，此时 OMN的面积取到最小值．即

POM 30 时， OMN的面积的最小值为8

6.(2013·江苏高考数学科·T18)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量, cosA 123，cosC . 135

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(1)求索道AB的长.

(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

【解题指南】(1)利用正弦定理确定出AB的长.(2)先设再建立时间t与甲、乙间距离d的函数关系式,利用关系式求最值.(3)利用条件“使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟”建立不等式求解.

【解析】(1)在△ABC中,因为cosA=错误！未找到引用源。,cosC=错误！未找到引用源。,所以sinA=错误！未找到引用源。,sinC=错误！未找到引用源。. 从而sinB=sin[π-(A+C)]

=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC =5312463 ， 13513565

ABACsinC =sinB ,得

AC12604AB=sinB×sinC= =1040(m). 635

65

所以索道AB的长为1040m.

(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×错误！

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12未找到引用源。13=200(37t2-70t+50),

1040因0≤t≤130错误！未找到引用源。,即0≤t≤8,

35故当t=37 (min)时,甲、乙两游客距离最短.

BCAC(3)由正弦定理sinA错误！未找到引用源。=sinB 错误！未找到引用源。,得

AC12605BC=sinB×sinA= =500(m). 63

6513

乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C. 设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3≤5007101250625 v , ≤3,解得v504314

所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在1250625[43，14 ] (单位:m/min)范围内.

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