26.1.1 二次函数的意义

第二十六章26.1.1

二次函数二次函数的意义

讨论与思考：1、正方形的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x,表面积 为y,显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数， 他们的具体关系是可以表示为什么？y=6x2 2、多边形的对角线数d与边数n有什么关系？1 d= n(n-3) 2 1 2 3 d= nn 2 2x

即

3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ y=20(1+x)2 即 y=20x2+40x+20

认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出 哪些是常数、自变量和函数.函数解析式 自变量 函数

y=6x2d=1 2 3 nn 2 2

xn x

yd y

这些函数有什 么共同点？ 这些函数自变 量的最高次项 都是二次的！

y=20x2+40x+20

二次函数的定义：一般地，形如 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a 0) 的函数，叫做二次函数。

注意：1、其中，x是自变量，ax2是二次项，a是二次向系数 bx是一次项，b是一次项系数 c是常数项。 2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.

一次函数 正比例函数 反比例函数 二次函数

y=kx+b(k,b是常数，k 0) y=kx(k是常数，k 0) y= k (k为常数 , k 0 ) x

y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a 0)

这些函数的名称度反映了函数表达式与自变量的关系。

1.下列函数中,哪些是二次函数？

1 (否) 2 x -x (5)y=(x+3)² -x²(否) (6)v=10πr²(是) (7) y=x² +x³ +25 (否) (8)y=2² +2x (否)

1 (是) (2) y = x + (否) (1) y=3(x-1)² +1 x(3) s=3-2t²(是) (4) y =

抓住机遇 展示自我1.下列函数中,哪些是二次函数?

(1) y = x

2

是 不是 是不是

1 ( 2) y = 2 x (3) y = x(1 x ) (4) y = ( x 1) 2 x 2

先化简后判断

2、下列函数中，哪些是二次函数？(1) y = 3x 2 21 (2) y = x x2

(是 )

(

否) 是) 否)

(3) y = ( x 2)( x 3)(4) y = x 2 2 x 3

(

(

(5) y = ( x 2)( x 2) ( x 1) 2

(否 )

知识运用3、下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1 (2)y=3x2

(3)y=3x3+2x2(5)y=x-2+x

(4)y=2x2-2x+1(6)y=x2-x(1+x)

例1、判断：下列函数是否为二次函数， 如果是，指出其中常数a.b.c的值. 2 (1) y=1- 3 x (2)y=x(x-5) 3 1 2 (3)y= x- x+12

2

(4) y=3x(2-x)+ 3x22

1 (5)y= 2 3x 2 x 1

(6) y= x 2 5 x 6 (8)y=ax2+bx+c

(7)y= x4+2x2-1

例1: 关于x的函数 y = (m 1) x 数, 求m的值.解: 由题意可得

m2 m

是二次函

m2 m = 2解得，m = 2 当m = 2时，函数为二次函数。

m 1 0

注意:二次函数的二次项系数不能为零

知识运用m 2 m 1 练习1、m取何值时，

函数是y= (m+1)x2

+(m-3)x+m 是二次函数？

驶向胜利 的彼岸

练一练:

练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子 (1)二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。 (2)二次项系数为-5,一次项系数为 常数项的3倍。

展示才智

3、若函数 y = (m 1)x m的值。2

m 2 m

为二次函数，求

解：因为该函数为二次函数， 则2 m m = 2(1) 2 m 1 0( 2)

解(1)得：m=2或-1 解(2)得： m 1且m 1 所以m=2

超级链接函数y = ax 2 bx c(其中a, b, c是常数), 当a, b, c满足什么条件时

(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？

解：( 1 )a 0 (2)a = 0, b 0 (3)a = 0, b 0, c = 0

敢于创新如果函数y= x +kx+1是二次函数, 0,3 则k的值一定是______如果函数y=(k-3)x 数,则k的值一定是______ 0k 2 - 3k+ 2 k 2 - 3k+ 2

+kx+1是二次函

知识的升华已知函数 y = (k k ) x kx 2 k (1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？2 2

k = 0 k 解(1)根据题意得 k 02

∴k=1时,y是x的一次函数。2

(2) 当k - k ≠0,即k ≠0且k ≠1时 y是x的二次函数

例2、当m为何值时，函数 2-2 m y=(m-2)x +4x-5是x 的二次函数m-2≠0且m -2=22

m≠2∴

m=±2m=-2

2 +m -4 m 练习：y=(m+3)x +

(m+2)x+3,当m为何值 时，y是x的二次函数？m=2