常微分方程讲义(一)

常微分方程讲义（一）

课程目标：

掌握常用的常微分方程解题技巧；利用常微分方程的思想建模。 上课方式：

课堂讲授、练习与考试。

课程特点：

承接高数、微积分、数学分析等课程而来，与导数、积分的关系非常紧密，在经济数学中有广泛的应用；常与其他数学工具与方法混合使用。

参考书目：

《常微分方程》，蔡燧林编著，武汉大学出版社，2003；及所有标注有“常微分方程”、“应用”、“经济数学”、“金融数学”的教材与专著。

为什么在模拟经济变化时要引入常微分方程？

注重刻画在无穷小时间段内的变量的动态变化，实现了从“静态”向“动态”的飞跃。

微分方程比初等函数更近于现实，更真于模拟。

什么是方程？y f(x)。

什么是微分方程？

常微分方程：含有dy、dx、dy的方程； dx

偏微分方程：含有 y、 x、 y的方程。 x

y的几何含义：割线、割线的斜率 x

dy的几何含义：切线、切线的斜率 dx

ydy：数学上——切线的斜率，导数 lim x 0 xdx

经济上——变化率，边际

例：求y x2与y ex的导数

应当记下来的等式：

(xn)' nxn 1， nxn 1dx xn c

(ex)' ex， exdx ex c

(lnx)' 1

x， 1

xdx lnx C

(sinx)' cosx， cosxdx sinx C

(cosx)' sinx， ( sinx)dx cosx C

(tgx)' sec2x， sec2xdx tgx C

(ctgx)' csc2x， ( csc2x)dx ctgx C

(C)' 0

(kx)' k

(a b)' a' b'

(ab)' a'b ab'

(aa'b ab'

b)' b2

(f[g(x)])' f'g'

( p(x)dx)' p(x)

xdy xy ydx

sin2x 2sinxcosx

cos2x cos2x sin2x 1 2sin2x 2cos2x 1

tg2x 2tgx 21 tgx

sin2x 1 cos2x 2

1 cos2x cos2x 2

1 cos2x tg2x 1 cos2x

x y x y sinx siny 2sin cos 2 2

x y x y sinx siny 2cos sin 2 2

x y x y cosx cosy 2cos cos 22

x y x y cosx cosy 2sin sin 22

sin(x y) sin(x y)

2

sin(x y) sin(x y)cosxsiny 2 cos(x y) cos(x y)cosxcosy 2

cos(x y) cos(x y)sinxsiny 2sinxcosy (x)' 1 11x2 22x， 1

2xdx x C

(ax)' axlna， axlnadx ax C

(arcsinx)' 1

x2， 1 x2dx arcsinx C

(arctgx)' 1

1 x2， 1dx arctgx C 1 x2

例：怎么求

1 x2dx与 1dx 21 x

例：匀速运动与变速运动

例：不良资产的处置速度与资本充足率的变化

常微分方程的“阶” dyd2ydny考察方程中导数的最高“阶”,2......n， dxdxdx

而不是考察方程中的最高“次方”dy,(dy)2......(dy)n dxdxdx

常微分方程的“解”

通解：曲线族

特解：初值条件

例：检验y

例：检验xsin2y y2 C是方程sin2y (xsin2y 2y)y' 0的解

12 1是方程y'' (y')2 0的解 C1x C21 y

x t3 t 2例：检验由参数方程 所决定的函数y f(x)，是微分方程 3412y t t C 42

x (dy3dy) 2的解 dxdx

例：设 p(x)dxy Ce是微分方程p(x)是区间（a，b）上的连续函数，证明

y' p(x)y 0在区间a x b,y 内的解。

例：一曲线经过点（2，0），且其上任意一点的切线界于切点和纵坐标轴之间的部分的长度恒等于2，求此曲线所满足的微分方程的表达式。

文献清单：

《常微分方程及其应用》，周义仓等编，科学出版社，2004

《微分方程模型》，（美）William F.Lucas主编，朱煜民等译，国

防科技大学，1998

《微分方程模型与混沌》，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，

1999

《微分方程及其应用》，（美）M.Braun著，张鸿林译，人民教育出

版社，1980

《常微分方程习题集》，周尚仁等编，人民教育出版社，1980 《经济应用数学》，万世栋等主编，科学出版社，2002

《经管财金建模方法及应用》，饶友玲等编著，清华大学出版社，2004