2012-2013红河学院春季学期《复变函数》期末考试试卷A

红河学院2012—2013学年春季学期 《复变函数》课程期末考试试卷 卷别：A卷考试单位： 数学学院 考试日期：

一、填空题（每小题2分，共20分）

1、复数z 1 i的指数形式是 . 2、方程1 ez 0的全部解为. 3、Lni . 4、设函数f(z)在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内的任一条周线，则 Cf(z)dz 5、 cosz|z| 1z . 6、级数 in2n________________ .（填“绝对收敛”、“条件收敛”或“发散”）n 1 zn7、级数2n的收敛半径为 . n 18、函数f(z) 11 z3在z 0处的泰勒展开式为．9、z 0是函数sinz 阶极点．z10的110、Res(ez,0)

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二、选择题（每小题2分，共10分）

1．i1001的值等于（ ）

A.i； B. i； C.1； D. 1.

2、方程z 2 4所表示的平面图形是（ ）

A.圆心为(2,0)，半径为2的圆周； B. 圆心为(2,0)，半径为4的圆周；

C. 圆心为( 2,0)，半径为2的圆周；D.圆心为( 2,0)，半径为4的圆周.

3、 在复平面上，下列关于余弦函数cosz的命题中，错误的是（ ） ．．

A.|cosz| 1 B.(cosz)' sinz

C.cosz是周期函数 D.cosz在整个复平面上均解析

cnzn 1

, ncnzn 1的收敛半径分别为r,R, ，4、设幂级数 cnz, 则( ) n 1n

A.r R ； B.R r ； C. r R； D.r R .

5、下列命题中正确的是( )

A.若函数f(z)在点z0处连续，那么f(z)在点z0处可导.

B.若函数f(z)在点z0处可导，那么f(z)在点z0处解析.

C.如果函数f(z)在点z0处满足Cauchy Riemann方程，则f(z)在点z0 处解析.

D. 若函数f(z)在点z0处解析，那么f(z)在点z0处可导.

三、计算题（共60分，要求写出必要的解答步骤）

501、(6分) 已知z 1 i，计算z

及

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2、(6分)设f(z) x2 ay2 bx 1 i(cxy 2y)为复平面C上的解析函数，求a,b,c的值.

3、(6分)

设w ，若在从原点起沿正实轴割破了的z平面上，并且

w(i) i，试求w( i)之值

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4、(12分)计算积分： Cz(z 1)2 .其中 cosz

(1)C为圆周|z| 11的正向； (2)C为圆周|z 1| 的正向； 22

(3) C为圆周|z| 2的正向.

5、 (6分) 验证u(x,y) excosy 2x是z平面上的调和函数，并求一解析函数f(z) u(x,y) iv(x,y)，使得f(0) 1.

6、(6分)将函数

第 4 页 共 6 页 1(1 z)2展开成z的幂级数，并指明其成立的范围．

7、（12分）将函数f(z) 1在下列各圆环域内展开成洛朗级数. (z 2)(z 3)

1）0 |z| 1； 2）2 |z| 3； 3）3 |z| .

1

z2ez8、(6分)计算积分I

|z| 3(1 z).

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四、证明题（共10分）

22221、（4分）证明|z1 z2| |z1 z2| 2(|z1| |z2|).

2、（6分）叙述并证明代数学基本定理.

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