燕尾定理与蝴蝶三角形_直线型知识点(1)(2)

第二讲 燕尾定理与蝴蝶定理

基础知识

之前我们学了一些直线型的皮毛，今天，让我们系统的学习直线型吧！ 下面是同学们在做题时常用的几条定理或结论。 一、同高三角形，鸟头定理和燕尾定理： A

（1）同高三角形面积的比等于底的比； 如右图中：

S△ABD : S△ACD = BD : CD B

D

C

推论1：平行线间同底的三角形面积相等。如图：

S△ABC = S△ADB = S△AEB （因为它们同底等高）

AB

推论2：长方形中以一条边为底，顶点在对边形面积的一半。如图：

S△ABC = S△BEC = S△BFC= S△BDC=

12

SABDC

（因为每个三角形的面积相当于是长乘宽除2）

推论3：梯形中的蝴蝶三角形——梯形中由对角线分成的左右两个三角形面积相等。如图：

S AOD S BOC（蝴蝶三角形）

（因为S ADC S BDC，这两个三角形同时减去S DOC就得到了S AOD S BOC）

A

推论4：鸟头定理——如右图所示则有：

１

E

的三角形的面积是此长方

S ADES ABC

AD AEAB AC

证明：连结BE，则有：

S ADES ABE

ADAB

，

S ABES ABC

AEAC

两个式子相乘得到：

S ADES

S ABES S ADES ABC

ABE

ADAB

AEAC

ABC

即：

AD AEAB AC

A

推论5：燕尾定理： 如右两图所示，均有：

E

B

B

D

BDCD

A

D

S ABES ACE

BDCD

C

C

（因为左右两边所有对应的三角形的面积比都等于

二、正方形面积等于对角线的平方除以2.如图：

SABDC=

12

）

SAEFC=

12

AC2

为大正方形有4个直角三角形，而小的只有三、平行线分线段成比例：

“金字塔”和“沙漏”，

如右两图所示：

如果AB与CD平行，那么：

OAOCOAAC

OBODOBBD

ABCD

2

2

2

S AOBS COD OA OB AB

OCODCD

推论：配合沙漏型的规律，只要知道了梯形被对角线分成的四个三角形中两个不同的三角形的面积，就可以知道每一个三角形的面积，进而知道总面积。如图：

四、交叉相乘：

如右图所示，对任意凸四边形ABCD有：

S AOD S BOC S AOB S COD（交叉相乘）

C

A

证明：如图，过点B，D作AC的高BE，DF 则有：S AOD

S BOC S COD S AOB

12121212

DF AO BE OC DF OC BE AO

B

C

A

所以：

B

３

S AOD S BOC

12

DF AO

12

12

BE OC

12

14

DF AO BE OC

14

DF AO BE OC

S AOB S COD

BE AO DF OC

所以：S AOD S BOC S AOB S COD

例1 三角形ABC的面积为36平方厘米，D上分别为BC、AC则三角形ADE的面积为__________平方厘米。

解：因为DC=2BD 所以

S ADCS ABC

DCBC23 23

边上的三等分点(如图)。

C

因为AE=2EC 所以

S ADES ADC

AEAC23

23

所以三角形ADE的面积为36

16平方厘米。

)

分的面积是长方形面积的

例2 如图中A、B两点分别是长方形长和宽的中点，那么阴影部___________(填几分之几)。(

解：如右图我们把BC连结起来， 就可知道S3是长方形面积一半的一半 S2是长方形面积一半的一半的一半

所以阴影部分的面积就是长方形面积的

例3 如图，△ABC中，CD=3AD，EC=3BE，那△ABO________分之_________；

O E

C

14 18 38

38

S1S

S3

的面积占△ABC面积的

４

解：

我们先连结OC

，然后就会发现两个燕尾（下图第2图，第

3图）：

然后我们根据燕尾定理可知

S1S2

13

，

17

11 3 3

17

S1S3

13

，所以

S1

S1 S2 S3

所以△ABO的面积占△ABC面积的

B

D

C

同一类型的题（如右图所示），我们整理一下会发现：

SAOBSABC

1

1ECEA

DCBD

例4

如图，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？

解：我们添加2条辅助线：观察下图可以看到S2 =S3 =S4 =S5 =S6 =S7

S3

S1

S5

S6

S4

S7

根据“沙漏定理”我们知道

121

()

S4 S52412

S六边形=3 83

S1

S2

而S1 S2+3+4+5=S1 S阴=

1

然后可以算出S1=，S阴=

3

做这道题需要同学们对六边形的各条边的长短很了解才行。

５