二阶常系数线性微分方程的解法

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二阶常系数线性微分方程的解法一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构

二阶常系数线性微分方程的标准形式

y ay by f ( x )其中a,b是常数.

(1)

若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,

若 f ( x ) 0 ,即方程

y ay by 0

(2)1

称为二阶常系数齐次线性微分方程。

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二阶常系数齐次线性方程解的性质回顾一阶齐次线性方程

y P( x ) y 0

(1)

1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；

2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；

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二阶常系数齐次线性方程解的性质

y ay by 0

(2)

1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；

定理1 如果 y1 ( x ), y2 ( x ) 是方程(2)的两个解,则

y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x )也是(2)的解.

y1 ( x ) 如果 常 数(称线性无关), 则上式为(2)的通解. y2 ( x )3

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二、二阶常系数齐次线性方程的解法

y ay by 0

(2)

x 下面来寻找方程 (2)的形如 y e 的特解.

将 y e x 代入方程 (2),得 ( 2 a b) e x 0 ,

而e

x

0 ,于是有

a b 02

(3)

代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).

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a b 02

(3)

记

a 2 4b ,

情形1 若 0 , 则特征方程(3)有两个相异的实根

a , 1, 2 2 得到方程(2)的两个特解 y1 e 1 x , y2 e 2 x ,而 y1 ( x ) / y2 ( x ) e( 1 2 ) x C , 故它们线性无关,

因此(2)的通解为

y C1e

1 x

C 2e

2 x5

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情形2 若 0 , 则特征方程(3)有两个相等的实根 a 1, 2 , 只得到方程(2)的一个特解 y1 e 1 x , 2 需要求另一个特解 y2 ,使 y 2 / y1 常数.设 y2 / y1 u( x ) , 即 y 2 u( x ) e 1 x , 代入方程(2),并约去 e 1 x

,得

2 u (2 1 a )u ( 1 a 1 b)u 0 ,2 因为 1 是方程 a b 0 的二重根,2 故有 1 a 1 b 0 , 2 1 a 0 ,

0 , 取特解 u x , 即得 y 2 x e x , u1

于是(2)的通解为

y (C 1 C 2 x ) e

1 x

.

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情形3 若 0 , 则特征方程(3)有一对共轭复根

1, 2 i y1 e x cos x , y2 e x sin x 可以证明,是(2)的解，且线性无关， 所以方程(2)的通解为

y e (C1 cos x C 2 sin x )

x

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小结y ay by 0特征根的情况 实根 r1 r2

a b 02

通解的表达式y C1e r1 x C 2e r2 x

实根 r1 r2复根 r1, 2 i

y (C1 C 2 x ) e

r1 x

y e x (C1 cos x C 2 sin x )

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例1解

求微分方程 y

2 y 3 y 0 的通解.特征方程为 2 2 3 0

特征根为 1 1, 2 3故所求通解为 例2 解

y C1e x C 2e 3 x

求方程 y 2 y 5 y 0 的通解.特征方程为 2 2 5 0

解得 1, 1 2i , 2 故所求通解为

y e (C1 cos 2 x C 2 sin2 x )9

x

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ds ds 例3 求微分方程 2 2 s 0 满足初始条件 dt dts(0) 4, s (0) 2 的特解.解 特征方程为

2

2 2 1 0

特征根为 1 2 1 故通解为 s (C1 C 2 t ) e t

s (C 2 C 1 C 2 t ) e t , s ( 0) C 1 4 ,

s (0) C 2 C1 2 , C 2 2 ,所以所求特解为 s (4 2t ) e t .10

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三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法

y ay by f ( x ) 对应齐次方程 y ay by 0

(1) (2)

1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个 解是(1)的解； 2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 .

定理2 设 y ( x ) 是方程(1)的一个特解,

Y (x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为

y Y y .11

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三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法

y ay by f ( x ) 对应齐次方程 y ay by 0

(1) (2)

定理2 设 y ( x ) 是方程(1)的一个特解,

Y (x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为

y Y y .问题归结为求方程(1)的一个特解. 只讨论 f (x) 的两种类型. 用待定系数法求解.12

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1、f ( x ) e r x Pm ( x ) 型其中 r 是一个实数, Pm ( x ) 是 m 次多项式.设 y Q( x )e r x ,其中Q( x ) 是多项式, 则

Q ( x )e r x Q( x )e r x (y )

Q ( x )e r x 2 Q ( x )e r x 2Q( x )e r x (y )

代入方程 y ay by f (x) ,

整理并约去e

rx

,得

( 2r a )Q ( r 2 ar b)Q Pm ( x ) Q

(*)13

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( 2r a )Q ( r 2 ar b)Q Pm ( x ) Q2 情形1 若 r 不是特征根, 即 r ar b 0 ,

(*)

则可设 Q( x ) 为次数与 Pm ( x ) 次数相同的多项式:

Q( x ) Qm ( x ) , 即 y Qm ( x ) e

rx

情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r 2 ar b 0 ,而 2r a 0 , 则令 Q( x ) x Qm ( x ) , 即

y xQm ( x ) e r x14

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( 2r a )Q ( r 2 ar b)Q Pm ( x ) Q情形3

(*)

若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 ar b 0 ,

且 2 r a 0 , 则令 Q( x ) x 2 Qm ( x ) , 即

y x Qm ( x ) e2

rx

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( 2r a )Q ( r 2 ar b)Q Pm ( x ) Q综上讨论

(*)

y ay by e r x Pm ( x )Qm ( x ) ,r不是特征根

y Q( x ) e r x , 设特解为其中 Q( x )

xQm ( x ) , r 是单特征根x 2Qm ( x ) , r 是二

重特征根

然后将 y 代入原方程，或根据恒等式(*)来确定

Q ( x ) ,从而得到特解 y .若 f ( x ) Pm ( x ) , 可看成是 r 0 的特殊情形。16

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例4 求微分方程 y 2 y 3 y 3 x 1 的通解. 解

特征方程 2 2 3 0 特征根

1 3, 2 1Y C1e C 2e ,3x x

对应齐次方程通解

因为 r 0 不是特征根, 故设特解 y Ax B ,

代入原方程,得

2 A 3( Ax B) 3 x 1

1 所以特解 y x , 3 1 x 3x 即原方程的通解 …… 此处隐藏：2124字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……