4-4 控制系统频率特性的绘制

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第四章 线性系统的频域分析法

第四节 控制系统频率特性的绘制

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4-4 控制系统频率特性的绘制项目 内 容

教 学 目 的 数坐标图的绘制方法。

掌握控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对

教 学 重 点 标图的绘制。

控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对数坐

教 学 难 点 渐近线形式的对数坐标图幅频特性的绘制。讲授技巧及注 通过数学公式推导、详细给出绘制步骤进行分析。 意事项

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绘制开环频率特性的重要性

用频域法研究控制系统的最主要特点是根据开环频率特性判别闭环系统的稳定性及时域性能指标；

闭环系统的稳定性及时域性能指标也可以从闭环频

域特性得到，但闭环特性需要从开环频率特性获得；

开环频率特性比较容易求得。

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一、开环频率特性的极坐标图的绘制1、从解析形式看极坐标图的绘制G ( j ) G1 ( j )G2 ( j ) Gn ( j ) A1 ( ) A2 ( ) An ( )e j[ 1 ( ) 2 ( ) n ( )] A( )e j ( )

A( ) A1 ( ) A2 ( ) An

( ) 1 ( ) 2 ( ) n ( )系统频率特性的幅值为各组成环节幅值的乘积， 相位为各组成环节相位的和。

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步骤:1、分别求出组成系统的各串联典型环节频率特 性的幅值和相角；

2、按照“幅值相乘、相角相加”的原则算出与 选定的 相对应的开环系统频率特性的相角 ( )和幅 值A( ) ; 3.1 按照所得相角和幅值绘制开环系统的极坐标 图(逐点描迹)。3.2 根据所得的幅值A( )和相角 ( ),算出系统 频率特性的实部U( )和虚部V( ),根据实部和虚部绘 制轨迹图(避免使用量角工具)。

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优点：可以精确地绘制频率特性的极坐标图。 缺点：非常麻烦，工作量大，不实用。

开环极坐标图用于系统分析时，不需要精确 的图形，只需要绘制概略极坐标图。为了较快地 绘制极坐标图的大致形状，需研究根据开环频率 特性的解析式绘制极坐标图的一般规律和特点。

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思路：寻求绘制概略幅相曲线的快捷方法2、实用概略极坐标图的绘制 设系统开环频率特性为：K [b0 ( j ) m b1 ( j ) m 1 bm 1 ( j ) 1] G ( j ) ( j ) [a0 ( j ) n a1 ( j ) n 1 an 1 ( j ) 1]

讨论：

(1)低频段( →0,起始点)G ( j ) 0

K [bm 1 ( j ) 1] ( j ) [an 1 ( j ) 1]

分子分母同乘以 1 an 1 ( j )

K [(an 1bm 1 2 1) (bm 1 an 1 )( j )] ( j ) [ a n2 1 2 1]

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G ( j )

0

K [(an 1bm 1 2 1) (bm 1 an 1 )( j

)] 2 ] ( j ) [a n 1 2 1

0型系统， 0K (an 1bm 1 2 1) U ( ) 2 a n 1 2 1 0 0 0

K (bm 1 an 1 ) V ( ) 2 a n 1 2 1j 00

lim G ( j ) lim U ( ) j lim V ( ) K j 0 Ke 0

lim A( ) K

0

lim ( ) 0

结论：0型系统的幅相曲线的低频段起始于实轴 上的点(K,j0)。

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G ( j )

0

K [(an 1bm 1 2 1) (bm 1 an 1 )( j )] j ) 2 ( j [a n 1 2 1]

分子分母同乘以 j

K [(bm 1 an 1 ) j (an 1bm 1 2 1)] (a n2 1 2 1) 1型系统， 1

K (bm 1 an 1 ) U ( ) 2 a n 1 2 1 0 0

K (an 1bm 1 2 1) V ( ) (a n2 1 2 1)j ( 900 )

lim G ( j ) lim U ( ) j lim V ( ) K (bm 1 an 1 ) j e 0 0

lim A( )

0

lim ( ) 90 0

结论：1型系统的幅相曲线的低频段起始于负虚 轴上的无穷远点。

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G ( j )

0

K [(an 1bm 1 2 1) (bm 1 an 1 )( j )] 2 2 ( j ) [a n 1 2 1] K [(an 1bm 1 2 1) (bm 1 an 1 )( j )] 2 [a n2 1 2 1]

分子分母同乘以 1

2型系统， 2

K (an 1bm 1 2 1) U ( ) 2 (a n2 1 2 1) 0 0

K (bm 1 an 1 ) V ( ) 2 (a n2 1 2 1) K (bm 1 an 1 )

lim U ( )

2

0

lim V ( ) 0

lim A( )

lim ( ) 1800

(bm 1 an 1 ) (bm 1 an 1 )

结论：2型系统的幅相曲线的低频段起始于负实 轴上的无穷远点。

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同样的方法，可知：3型系统的幅相曲线的低频段起始于正虚轴

上的无穷远点。4型系统的幅相曲线的低频段起始于正实轴

上的无穷远点。5型及5型以上系统很难稳定，需要改造。

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K [b0 ( j ) m b1 ( j ) m 1 bm 1 ( j ) 1] G ( j ) ( j ) [a0 ( j ) n a1 ( j ) n 1 an 1 ( j ) 1]

(2)高频段 ( →∞,终点)Kb0 ( j ) m Kb0 1 1 Kb0 1 ( n m )900 lim G ( j ) n m n m n m e n a0 ( j ) a0 j a0

讨论：

n m 0 ,在物理上难以实现系统。

Kb0 Kb0 , j 0) 点。 n m, lim G ( j ) , 终止于 ( a0 a0 n m 0, A( ) 0 ( )

(n m)900

n m 0时, 幅相曲线的高频段最终趋于坐标原点,趋 于原点的方向与正、负虚半轴或正、负实半轴相切。

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(3)中频段方法：逐点描迹 选特殊点：与虚轴的交点、与实轴的交点、转折 频率点 开环频率特性的概略极坐标图的绘制一般至少要 求给出三个点的精确坐标：起点、终点、与负实轴的 交点，分别对应低频段、高频段和中频段的特殊点。与负实轴交点(虚部等于零得到ω =ω n,代入实部表达式得到焦点坐标) 与负虚轴交点(实部等于零得到ω=ωn,代入虚部表达式得到焦点坐标)

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二、开环频率特性对数坐标图的绘制1、从解析形式看对数坐标图的绘制G ( j ) G1 ( j )G2 ( j ) Gn ( j ) A1 ( ) A2 ( ) An ( )e j[ 1 ( ) 2 ( ) n ( )] A( )e j ( )

A( ) A1 ( ) A2 ( ) An20 lg A( ) 20 lg A1 ( ) 20 lg A2 ( ) 20 lg An ( ) 20 lg Ai ( )n i 1

( ) 1 ( ) 2 ( ) n ( ) n ( )i 1

n

对数幅频特性和相频特性都符合叠加原则。

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系统Bode图的绘制(叠加法) 例 绘制开环传递函数的对数坐标图1 7.5( s 1) 3 G( s) 1 1 2 s( s 1)( s s 1) 2 2

(1)比例 (2)积分 (3)振荡 (4)惯性

20lgK=20lg7.5=17.5dB; ( ) =00 -20lg 0

斜率为 20dB / dec, 过( = 0dB)点的直线; 90 1,

转折频率 3= 2 转折频率 2=2

(5)一阶微分 转折频率 1=3

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L( ) dB6040 20

-20 -600.010.1 1

-80

+20

一阶微分 比例

rad / s

10-20

-20 -40

积分-40

-20

惯性

-60

-60

振荡

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( )900 0.01 0.1 1 10

一阶微分

惯性

rad / s 比例 积分

-900-1800 -2700

振荡

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典型环节对数坐标图的特点： 比例环节和积分环节在整个频率段上起作用； 惯性环节、一阶微分环节、振荡环节和二阶 微分环节在转角频率之前的渐近线为0dB, 在转角频率之后的渐近线为斜率分别为-20、 20、-40、40dB/dec的斜线。

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2、系统Bode图的实用绘制法——分段法(1)求出各环节的转折频率，并标注在对数坐标图上。 (注意把频率特性写出尾1形式) (2)确定低频(小于最小转折频率)段幅频特性。(不考虑惯性、一阶微分、振荡环节)

为一直线，且过( =1,20lgK)点, L( ) 20lg K 20lg 0 0dB / dec 斜率由积分环节的个数决定 1 20dB / dec 2 40dB / dec

1

(3)依次画转折频率以后部分,增减斜率。

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例：绘制开环对数幅频渐近特性曲线300( s 2) G( s) H ( s) s ( s 0.5)( s 30)

解：

40(0.5s 1) G ( s) H ( s) 1 s(2s 1)( s 1) 30

低频段： 经过点( 1,20lgk=32dB)斜率为-20dB/dec的直线

斜率

0~0.5

0.5~2 2~30 30~∞ -20 -40 -20 -40

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幅频特性L( )-20 40

G(s) H (s)

40(0.5 s 1)1 s ( 2 s 1)( s 1) 30

-40 20 0 0.1 -20 0.5 1 2 -20 10 30 -40 100 ω

-40

低频段： 经过点( 1,20lgk=32dB)斜率为-20dB/dec的直线

斜率

0~0.5 -20

0.5~2 -40

2~30 -20

30~∞ -40