成才之路·人教A版数学选修2-3 1.3.1

选修2-3 第一章 1.3 1.3.1

一、选择题

1

1．(2013·景德镇市高二期末)在(x10的二项展开式中，x4的系数为( )

2xA．－120 C．－15 [答案] C

1110－r10－2r

[解析] Tr＋1＝Cr(－)r＝()r·Cr 10x10x2x2令10－2r＝4，则r＝3. 1∴x4的系数为(－)3C3＝－15.

2102．(2013·福州文博中学高二期末)在(15A．－

43C．－

8[答案] C

[解析] ∵Tr＋1＝Cr6(

－

－

B．120 D．15

x26

－)的二项展开式中，x2的系数为( ) 215

B

43D．8

x6－r2)·(－)r 2x

r2r63r

＝Crx(r＝0,1,2，…，6)， 6(－1)2

令3－r＝2得r＝1.

31－4∴x2的系数为C12，故选C. 6(－1)·8

3．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝30，则n等于( )

A．5 C．4 [答案] C

[解析] 令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30得n＝4. 14．(2014·湖南理，4)(x－2y)5的展开式中x2y3的系数是( )

2A．－20 C．5

B．－5 D．20 B．3 D．7

[答案] A

15－r1－5－rr

[解析] 展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr·(－2y)r＝(5r·(－2)rCry. 5(x)5x2212323当r＝3时为T4＝()2(－2)3C35xy＝－20xy，故选A. 25．(2013·辽宁理，7)使(3x＋A．4 C．6 [答案] B

[解析] 由二项式的通项公式得

5

rn－rn－Tr＋1＝Cn3x2，若展开式中含有常数项，则

1x)n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( )

B．5 D．7

5n－r＝2

5

0，即n，所以n最小值为5.选B.

2

6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是( ) A．－297 C．297 [答案] D

[解析] x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．

2

∴其系数为C510＋C10(－1)＝207.

B．－252 D．207

二、填空题

2

7．x(x－)7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)

x[答案] 84

2

[解析] x4的系数，即(x7展开式中x3的系数，

x2－－

Tr＋1＝Crx7r·(－r＝(－2)r·Crx72r， 7·7·x令7－2r＝3得，r＝2， ∴所求系数为(－2)2C27＝84.

8．(2013·景德镇市高二质检)设a＝ πsinxdx，则二项式(ax－

0

16

)的展开式中的常数项x

等于________．

[答案] －160

16

[解析] a＝ πsinxdx＝(－cosx)|π二项式(2－6展开式的通项为Tr＋1＝Cr0＝2，6)

x 0

－r

·(－

1r－3－r

)＝(－1)r·26r·Cr，令3－r＝0得，r＝3，∴常数项为(－1)3·23·C36x6＝－160. x

9．若(1＋2)5＝a＋2(a、b为有理数)，则a＋b等于__________________． [答案] 70

[解析] ∵(12)5＝1＋2＋20＋202＋20＋42＝41＋2＝a＋b2，又a、b为有理数，

a＝41，∴ ∴a＋b＝41＋29＝70. b＝29.

三、解答题

10．求二项式(a＋2b)4的展开式． [解析] 根据二项式定理

n1n1nkkn(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananbn得

－

－

413222334443223(a＋2b)4＝C04a＋C4a(2b)＋C4a(2b)＋C4a(2b)＋C4(2b)＝a＋8ab＋24ab＋32ab＋

16b4

.

一、选择题

2

11．若二项式(－n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为( )

xA．6 C．12 [答案] C

n－12n－122n－4

[解析] ∵T5＝C4·(－)4＝24·C4是常数项，∴＝0，∴n＝12. n(x)nx221

x2－n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是( ) 12．在 x A．3 C．5 [答案] D

12n－r2n－3r

[解析] 通项Tr＋1＝Cr(－)r＝(－1)rCr，常数项是15，则2n＝3r，且Cr10(x)nxn＝x15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D.

13．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是( ) 11A．x

12512C．＜x＜

123[答案] A

11

Bx＜

6512D．x＜

65B．4 D．6 B．10 D．15

1

T2>T1， C62x>1，

[解析] 由 得 122 T2>T3， C62x>C6 2x .

11∴＜x＜. 125二、填空题 14．设二项式(x－值是________．

[答案] 2

6r[解析] Tr＋1＝Cr(－6x

－

a6

(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的x

ar332,)＝(－a)rCr6x6－，所以6＝3时，r＝2，所以A＝15a622x

3

－＝0时，r＝4，所以B＝15a4，所以15a4＝4×15a2，所以a2＝4，又a>0，得a＝2. 2

x1

15．若x>0，设(＋5的展开式中的第三项为M，第四项为N，则M＋N的最小值为

2x________．

[答案]

2

2

52x312

[解析] T3＝C5((＝，

2x4x135

T4＝C3()2 52x2x5x5∴M＋N＝＋≥2

42x三、解答题

16．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．

[解析] 由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.

m＝1 ，∴

n＝18，

2

. 82

m＝2， m＝18，

…， n＝17， n＝1.

121222

x2的系数C2m＋Cn＝m－m)＋n－n)＝m－19m＋171. 22

7∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C79＋C10＝156.

1n317．(2013·山东嘉祥一中高二期中，大庆实验中学期中)在二项式 (x－的展开式

32x中，前三项系数的绝对值成等差数列．

(1)求n的值；

(2)求展开式中二项式系数最大的项；

(3)求展开式中系数最大的项．

12112

[解析] (1)C0n＋Cn＝Cn，∴n－9n＋8＝0；∵n≥2，∴n＝8. 42

4(2)∵n＝8，∴展开式共有9项，故二项式系数最大的项为第5项，即T5＝C4(x)·(－8132)4＝

35. 8

1rr＋11r＋1Cr ≥C，88 22

r8

r

r－11r－1

，8

(3)研究系数绝对值即可， 1

C 2≥C

解得2≤r≤3， ∵r∈N，∴r＝2或3. ∵r＝3时，系数为负． ∴系数最大的项为

4

T3＝7x32

.