湖南师大附中2014届高三高考模拟卷(一)数学(理)试题

湖南师大附中2014届高三高考模拟卷（一）

数学（理）试题

命题：湖南师大附中高三数学备课组 （考试范围：高中理科数学全部内容）

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟。满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的， 1．已知全集为R，集合A { 1,0,1},B x|()x 1 ，则A

A．( ,0)

B．[0, )

C．{－1}

12

ðRB等于

D．{0，1}

2．设a，b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是

A．a2<b2

B．ab2 <a2b

C．

11 22

abab

D．

ba

ab

3．设m、n是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是

4．设f(x) 1g(

2

a)是奇函数，则使f(x) 0的x的取值范围是 1 x

B．（0，1） D．（－ ,0）U（1,+ ）

A．（－1，0）

C．（－ ,0）

n

1 i *5．设f(n) ，则集合{x|x f(n)}中元素 (n N,i为虚数单位）

1 i

的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4

6．为调查某市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间x（单位：分钟），撩锻炼

时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上有10 000名中学生参加了此项活动，右图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6 200，则平均每天参加体育锻炼时间在0—20分钟内的学生的频率是 A．3 800 B．6 200 C．0．62 D．0．38

x y 0,

7．若变量z，y满足约束条 x y 1 0,则z |y 2x|的最大值为

y 1,

A．6 B．5 C．4 D．3

8．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函

数： ①f(x) sinx

cosx；②（f(x) x cosx)；③f(x) sinx；

④f(x) x 1)．其中“互为生成函数”函数的是

A①② B．②③ C．①④ D．③④

9．设M（x0，y0）为抛物线C:x2 =8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的

圆和抛物线C的准线相变，则yo的取值范围是 A（0,2） B．[0,2] C．（2,+∞） D．[2,+ ） 10．对数列{an}，如果 k N*及 1, 2,

, k R,使an k 1an k 1 2an k 2 kan成立,

其中n N* 则称{an}为k阶递归数列．给出下列三个结论：

①若{an}是等比数列，则{an}为1阶递归数列； ②若{an}是等差数列，则{an}为2阶递归数列；

③若数列{an}的通项公式为an=n2，则{an}为3阶递归数列．

其中正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对

应题号后的横线上．

（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分） 11．如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B=30°， AC=1，则AD的长为

12．已知a∈R，若关于x的方程x x a

是 。

13．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为 cos 3, 4cos ( 0,0 则曲线C1 与C2交点的极坐标为 ． （二）必做题（14至16题） 14．cos(

2

1

|a| 0有实根，则a的取值范围4

2

)，

17

) 6

15．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重 （单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数

据可知体重的平均值为 kg,若要从体重在[60，70）， [70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方

法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队 长，则这两人体重不在同一组内的概率为。

16．已如数列TA {x|x ai aj,1 i j n,card(TA) 表示集合TA中元素个数． （1）若A：l，3，5，7，9，则card（TA） ； （2）若ai 1 ai c(c为常数，1 i

7），则card（TA）= 。 n 1

三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）

某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在

一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9 000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），

设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为,求一年内该单位在此保险中： （1）获赔的概率，

（2）获赔金额 的分布列与期望．

18．（本题满分12分） 如图，已知三棱柱ABC—A1B1Cl的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中点，

N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足A1P A1B1

(1)当 取何值时，直线PN与平面ABC所成的角 最大？

(2)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置． 19．（本题满分12分） 已知数列{an}中a1=a，a2=t（常数t>0），Sn是其前n项的和，且Sn （1）求a的值；

（2）试确定数列{an}是否是等差数列，若是，求其通项公式；若不是，说明理由； （3）令bn

111

,，且各车是否发生事故相互独立，91011

n(an a1)

2

Sn 2Sn 1

，证明：2n b1 b2 Sn 1Sn 2

bn 2n 3,(n N*)．

20．（本题满分13分）

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1 000万元的投资收益．现

准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超遵投资收益的20%．

（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求； （2）现有两个奖励函数模型：①y

符合公司要求？

21．（本题满分13分）

x

2；②y 41gx 3．试分析这两个函数模型是否150

x2y2

1的左、右顶点分别为A1和A2 ,M（x1，一y1）和N（x1，y1）是双曲线 已知双曲线

43

上两个不同的动点．

（1）求直线A1M与A2N交点Q的轨迹C的方程；

（2）过点P（l，0）作斜率为k（k≠0）的直线l交轨迹C于A、B两点， ①求OA·OB的取值范围；

②若AP PB，问在x轴上是否存在定点E，使得OP⊥EA EB?若存在，求出E点的

坐标；若不存在，说明理由，

22．（本题满分13分）

已知a>0，函数f(x) 1nx

a

x． x

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若A、B是曲线y=f(x)上的任意不同两点，其横坐标分别为m、n，曲线y=f(x)在x=t

处的切线与直线AB平行，求证：m+n>2t．