1628空间向量的正交分解及其坐标表示

主讲人：闫天霞

天津市第四十七中学

高二数学 选修2-1

第二章

曲线与方程1

复习我们可以利用向量数量积解决立体几何 中的以下几类问题：

1、证明两直线垂直。2、求两点之间的距离或线段长度。 3、证明线面垂直。 4、求两直线所成角的余弦值等等。

练习1课本练习 第92页

ABCD A B C D

AB 4

AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60 AC D' C'

A'

B'

D

C

解： AC AB AD AA 2 2 | AC | ( AB AD AA ) 2 2 2 | AB | | AD | | AA | 2( AB AD AB AA AD AA )

A

B

42 32 52 2(0 10 7.5) | AC | 853

85

2.如图，在空间四边形 ABCD 中， AB 2 , BC 3 , BD 2 3 ,CD 3 , ABD 30 , ABC 60 ,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值王新敞奎屯 新疆

解：∵ CD BD BC ,

∴ AB CD AB BD AB BC | AB | | BD | cos AB, BD | AB | | BC | cos AB, BC

2 2 3 cos150 2 3 cos120 6 3 3 AB CD 3 1, ∴ cos AB , CD 2 | AB | | CD | 2 3

1 ∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 . 2

说明：由图形知向量的夹角时易出错，如 AB, BD 150 易错写成 AB, BD 30 ,注意推敲！

本节课题

3.1.4空间向量的正交分解及 其坐标表示

复习引入

平面向量基本定理. → → 对平面内的任意向量 a,均可分解为不共

线的两个向量 1 a1和 2 a 2,使a 1 a1 2 a2 .

如果a1 a 2时，这种分解就是平面 向量的正交 分解. 如果取a1,a2为平面直角坐标系的坐 标轴

方向的两个单位向量 i,j,则存在一对实数 x、 y,使得a x i y j,即得到平面向量的坐 标表 示a ( x,y ).6

讲授新课类比：平面向量的基本定理及平面向量的 坐标表示推广到空间向量，结论会如何？空间向量基本定理

如果任意三个向量a,b,c不共面，那么对空 间任一向量p ,存在有序实数组 { x,y,z }, 使得 p x a y b z c .我们把{a,b,c }叫做空 间的一个

基底( base), a,b,c 叫基向量.7

讲授新课类比：平面向量的基本定理及平面向量的坐 标表示推广到空间向量，结论会如何？空间向量的正交分解

如果a1,a2,a3两两垂直，对空间的任 意向 量a,均可以分解为不共面 的三个向量 1 a1、

2 a2、 3 a3,使a 1 a1 2 a2 3 a3,这种分解就是空间向量的正 交分解.8

如果基向量 i 、j 、 k 是空间三个两两垂直的向 量 , 那么对空间任一向量 p , 存在一个有序实数组 x , y , z 使得 p xi y j zk . k上 把 xi 、y j 、zk 分别称为向量 p 在 i 、j 、 的分向量, 这种分解我们把它叫做空间向量的正交 分解.显然这种正交分解更有利于我们的问题解决 , 因为关于这些分向量的数量积运算非常简单.

下面通过一些练习来体会这种方法.9

练习巩固

讲授新课OABC的边 例 1. 如图，M,N分别是四面体 OA,BC的中点，P,Q是MN 的三等分.用向 量OA , OB, OC 表示OP和OQ.

O

M AQ

P B N

C10

O 1 2 解：OP OM MP OA MN 2 3 M 1 2 OA (ON OM ) 2 3 Q A 1 2 1 P OA (ON OA) 2 3 2 N B 1 2 1 1 1 1 OA (OB OC ) OA OB OC 6 3 2 6 3 3 1 1 OQ OM MQ OA MN 2 3 1 1 1 1 1 OA (ON OM ) OA (OB OC ) 2 3 3 3 2 1 1 1 OA OB OC 3 6 611

C

练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , b、 c 表示 MN , MP ; ⑴用 a 、 ⑵求 MN MP . 分析: ⑴这种表示式的寻找 , 只 要 结合图形 , 充分运用空间向 量加法和数乘的运算律即可. ⑵运用⑴的结果,可以把 MN MP 的计算转化 b、 c 的有关运算来处理 , 而且不用添 为基向量 a 、 辅助线及作证明.12

练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , b、 c 表示 MN , MP ; ⑴用 a 、 ⑵求 MN MP . 略解:⑴ MN MO ON 1 1 1 OA (OB OC ) = ( a b c ) 2 2 2 1 MP OP OM = (c a ) 2 1 1 2 2 2 ⑵易知 a b b c c a , a b c 1 ,∴ MN MP

2 413

练习 2.在长方体 ABCD─A1 B1C1 D1 中, AB 2 , BC 2 , D C 1 1 AA1 6 ,且记 AB a , AD b , AA1 c , A b、 c 表示 BD1 , B1C ; ⑴用 a 、 1 B 1 BD B ⑵求异面直线 所成角的余弦值 1和 1C . C D 解:⑴ BD1 BA AD DD1 = a b c A B B1C B1 B BC c b 2 2 2 ⑵∵ a b b c c a 0 , a 4, b 4, c 36 , ∴ BD1 B1C -32 , BD1 2 11 , B1C 2 10

8 110 cos BD1 , B1C 110

4 110 ∴异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值为 55

思考 1.已知 S 是边长为 1 的正三角形所在平面外一 点， 且 SA SB SC 1 ,M , N 分别是 AB ,SC 的 中点，求异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值王新敞奎屯 新疆

分析：要求异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值，只要求 SM 与 BN 所成的角的余弦值.

而适当选取一组基底 , 可把关于 SM 与 BN 的计算 转化为基向量的有关运算 来简便处理.15

答案

1 解： 设 SA a ,SB b ,SC c , 则a b b c a c , 1 1 1 2 ∵ SM BN ( SA SB ) ( SN SB ) (a b) ( c b) 2 2 2 1 1 1 2 ( a c a b b c b ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) , 2 2 2 2 2 2 2 1 SM BN 2 2 ∴ cos SM , BN , 3 | SM | | BN | 3 3 2 2 2 所以，异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值为 . 3王新敞奎屯 新疆

点评：设出空间的一个基底后，求数量积 SM BN 的时候目标就 更加明确了， 只要将 SM 与 BN 都化为用基向量表示就可以了 本 题中 SM 与 BN 的夹角是异面直线 SM 与 BN 所成角的补角王新敞奎屯 新疆