10(7[1].8)傅里叶级数,正弦,余弦级数

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第七~ 傅里叶( 第七~八节 傅里叶(Fourier)级数 )(傅氏级数Fourier series) 傅氏级数

问题的提出 三角函数系的正交性 函数展开成傅里叶级数 正弦级数或余弦级数 小结 思考题 作业第十一章 无穷级数1

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傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶

上一节详细研究了一种重要的函数项级数: 上一节详细研究了一种重要的函数项级数: 幂级数. 幂级数. 下面研究另一种重要的函数项级数: 下面研究另一种重要的函数项级数: 傅里叶 级数. 这种级数是由于研究周期现象的需要而 级数. 这种级数是由于研究周期现象的需要而 产生的 它在电工、 产生的. 它在电工、力学和许多学科中都有很 重要的应用. 重要的应用 傅里叶(Fourier,1768-1830) 法国数学家和 傅里叶 物理学家. 物理学家 法国科学院院士,英国皇家学会会员 英国皇家学会会员. 法国科学院院士 英国皇家学会会员2

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傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶

历史朔源1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引 年 起的摄动时, 起的摄动时,大胆地采用了三角级数表示函数: 三角级数表示函数 表示函数:

f ( x ) = A0 +2∑ An cos nx

∞

1 2π 其中 An = ∫0 f ( x ) cos nxdx 2π 1759年,拉格朗日在对声学的研究中也使用 年 三角级数. 了三角级数.1777年,欧拉在研究天文学的时候, 年 欧拉在研究天文学的时候,用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角 级数时的系数, 级数时的系数, 也就是现今教科书中傅里叶级数 的系数. 的系数.3

n =1

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在历史上, 在历史上,三角级数的出现和发展 与求解 微分方程是分不开的. 微分方程是分不开的. 1753年, 丹贝努利首先提出将弦振动方程 年 的解表示为三角级数的形式, 的解表示为三角级数的形式,这为函数的傅里叶 展开这个纯数学问题奠定了物理基础,促进了分 展开这个纯数学问题奠定了物理基础, 析学的发展. 析学的发展. 1822年,傅里叶在《热的解析理论》一书中 年 傅里叶在《热的解析理论》 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的， 特殊的情 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的， 形所采用的三角级数方法进行加工处理, 形所采用的三角级数方法进行加工处理, 发展成 一般理论. 一般理论.4

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一、问题的提出在自然界和人类的生产实践中, 在自然界和人类的生产实践中 周而复始 的现象, 周期运动是常见的. 的现象 周期运动是常见的 如行星的飞转,飞轮的旋转, 如行星的飞转 飞轮的旋转 蒸气机活塞的 往复运动,物体的振动 声、光、电的波动等 往复运动 物体的振动, 电的波动等. 数学上,用周期函数来描述它们 数学上 用周期函数来描述它们. 最简单最基本

用周期函数来描述它们 的周期函数是正弦型函数 谐函数 简谐波 简谐振动 角频率2π5

A sin( ω t + )振幅

时间 初相 周期 ω

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除了正弦函数外, 常遇到的是非正弦周期函数 非正弦周期函数, 除了正弦函数外 常遇到的是非正弦周期函数 1, 当 π ≤ t < 0 如矩形波 u( t ) = 1, 当0 ≤ t < π u1

较复杂的 周期现象

π

O1

π

t

分解 不同频率正弦波 逐个叠加π4 sin t ,

π 1

sin 3t , sin 5t , sin 7t , sin 9t , L 4 9 4 5 4 3 4 76

π 1

π 1

π 1

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4 u = sint πu1

2π 3π2

π

π2

O1

π2

π

3π 2

2π

t

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傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶

4 1 u = (sint + sin3t ) 3 πu1 2π 3π 2

π

π2

O1

π2

π

3π 2

2π

t

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傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶

4 1 1 u = (sint + sin3t + sin5t ) 3 5 πu1 2π 3π 2

π

π2

O1

π2

π

3π 2

2π

t

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傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶

4 1 1 1 u = (sint + sin3t + sin5t + sin7t ) 3 5 7 πu1 2π 3π 2

π

π2

O1

π2

π

3π 2

2π

t

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傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶

4 1 1 1 1 u = (sint + sin3t + sin5t + sin7t + sin9t ) 3 5 7 9 πu1 2π 3π 2

π

π2

O1

π2

π

3π 2

2π

t

1 1 1 1 u(t ) = (sin t + sin 3t + sin5t + sin7t + sin9t +L ) π 3 5 7 9

4

(π < t < π , t ≠ 0)

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设想

一个较复杂的周期运动(如矩形波 分解 一个较复杂的周期运动 如矩形波)分解 如矩形波

为简谐振动的迭加. 会给分析问题带来方便. 为简谐振动的迭加 会给分析问题带来方便 反映在数学上,是把一个复杂的周期函数 反映在数学上 是把一个复杂的周期函数 f(t) 的迭加, 表示为各类正弦函数 表示为各类正弦函数 Ansin( nωt + n )的迭加 即

A0 + ∑ An sin( nωt + n )n =1

∞

谐波分析

或再利用三角恒等式, 或再利用三角恒等式 变形为A0 + ∑ ( An sin n cos nωt + An cos n sin nωt )n =112

∞

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A0 + ∑ ( An sinn cos nωt + An cos nnsin nωt ) A sin ω t An cos A 0n =1

∞

a0 令 = A0 , an = An sinn , bn = An cosn , ωt = x. 2 a0 ∞ 三角级数 + ∑(an cos nx + bn sinnx) 2 n=1 三角级数? 满足什么条件, 函数 f (t) 满足什么条件 才能展为 三角级数 ω =1 如何确定? 系数a0 , a n , bn 如何确定

为简便计,先来讨论以 为简便计 先来讨论以 2π 为周期的函数 f(x), 解决上述问题起着关键作用的是: 解决上述问题起着关键作用的是 三角函数系的正交性(orthogonality). 三角函数系的正交性13

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二、三角函数系的正交性三角函数系

orthogonality

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , L cos nx , sin nx , L

的正交性是指 其中任何两个不同的函数的乘积 正交性

是指:其中任何两个 是指 其中任何两个不同的函数的乘积

上的积分为零， 而任 在一个周期长的区间 [π , π ]上的积分为零，一个函数的自乘(平方 在 一个函数的自乘 平方)在[π , π ]上的积分为 π或 平方

为2π . 即有

∫π

π 2

1 dx = 2π

∫π

π

1 cos nxdx = ∫ 1sinnxdx = 0π14

π

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∫

0, cos mx cos nxdx = π π,π

m≠n

m=nm≠n

∫

0, sin mx sin nxdx = π π ,π

m=n(其中m , n = 1,2,L)

∫πsin mx cos nxdx = 0∫πππ

π

cos 2 nxdx = π

∫π

sin 2 nxdx = π15

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三、函数展开成傅里叶级数1.傅里叶系数 1.傅里叶系数 (Fourier coefficient)

∫

a0 ∞ 若有 f ( x ) = + ∑ (a k cos kx + bk sin kx ) 2 k =1 (1) 求a0 . 两边积分 利用三角函数系的正交性 π ∞ πa π 0 f ( x ) dx= dx+ π∑ (ak cos kx + bk sin kx )dx π 2 π k =1

∫

∫

π π a0 dx + ∑ ak ∫ cos kxdx + bk ∫ sin kxdx =∫ π π π 2 k =1 =0 =0 1 π a0 f ( x)dx = 2π a0 = 2 π ππ

∞

(

)

∫