黑龙江省实验中学2018届高三数学12月月考试卷理科有答案

黑龙江省实验中学2018届高三数学12月月考试卷理科有答案

黑龙江省实验中学2018届高三数学12月月考试卷（理科有答案）

黑龙江省实验中学2017-2018学年度上学期高三第四次

考试

数学理科

考试时间120分钟总分150分命题人：王晓红审题人：李庆亮

一、选择题（每题5分，共60分）

1．已知集合，集合，则等于（）

A.B.C.D.

2．给出下列三个命题：

或是“”的必要不充分条件

若，则

那么，下列命题为真命题的是（）

A.B.C.D.

3．若i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则|z-1+i|的最小值为（）

A.-1

B.2-

C.+1

D.2+

4．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，，则下列命题中的假命题是（）

A.若∥，则∥

B.若，则

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C.若相交，则相交

D.若相交，则相交

5．设变量，满足，若直线经过该可行域，则的最大值为（）

A．B．C．D．

6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上

袤二丈，无广，高二丈，问积几何？”其意思为：“今

有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1

丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）

A.10000立方尺

B.11000立方尺

C.12000立方尺

D.13000立方尺

7.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线

的焦点，在抛物线上且当与抛物线相切时，点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

8.已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题，

假命题的是（）

A.公差

B.在所有中,最大

C.满足的的个数有11个

D.

9.设椭圆的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且

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满足，则的值为（）

A.8

B.10

C.12

D.15

10.已知圆C：和两点A（，0），B（，0）（＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则当取得最大值时，点

P的坐标是（）

A．B.C.D.

11.抛物线的焦点为F，抛物线的弦AB经过焦点F，以AB 为直径的圆与直线相切于，则线段AB的长为（）

A.24

B.18

C.16

D.12

12.当时，恒成立，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

二、填空题（每题5分共20分）

13.已知，若，则的最小值为__________．

14．已知焦距为的双曲线的左右顶点分别为是双曲线上

异于的任意两点，若依次成等比数列，则双曲线的标准

方程是__________.

15．若，，则__________.

16．在中，,.若为的外心，则______．

三、解答题(共计70分)

17．（本题满分10分）(1)设，且，求证：.

(2)设为不全相等的正数，且，求证：.

18.（本题满分12分）如图，四棱锥中，⊥平面,是矩形，，

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直线与底面所成的角等于30°,，.

(1)若∥平面，求的值；

(2)当等于何值时，二面角的大小为45°？

19.（本题满分12分）在中，是边的中点，记

（1）求的大小；

（2）当取最大值时，求的值.

20.（本题满分12分）设为数列的前项和，，且，记为数列的前项和，（1）求证：数列{}是等比数列，并求得通项公式；（2）求。

21.（本题满分12分）设是椭圆的左焦点，直线为，直线与轴交于点，、为椭圆的左右顶点．已知，且．

（Ⅰ）若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，求证：；（Ⅱ）求的面积的最大值．

22.（本题满分12分）已知函数

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；并判断此时的单调性；

（2）若有两个极值点，且，当恒成立时，求m的取值范围。

数学：

1．D2．C3．A4．D5．A6．A7.C8.C9.D10．D11.A12．A 13．9614．15．16．288

17．(1)方法一(分析法)：要证a3+b3a2b+ab2成立，即

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需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立.又因a+b0，故只需证a2-ab+b2ab成立，即需证a2-ab+b20成立，即需证(a-b)20成立.而依题设，则(a-b)20显然成立.由此命题得证.

方法二(综合法)：.

注意到，a+b0，由上式即得

(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b).所以a3+b3a2b+ab2.

（2）解：∵a，b，c为不全相等的正数，且abc=1，∴.

又，

，，且a，b，c不全相等，∴上述三个不等式中的“=”不能同时成立.

∴，即.

故.

18．解：（1）∵平面PBC平面PAC=AC，EF平面PBC，若EF∥平面PAC，

则EF∥PC，又F是PB的中点，∴E为BC的中点，∴(2)以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP所在直线为轴、轴、轴

建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，，），

D（，0，0）,设，则E（，1，0）

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求得平面PDE的法向量（，平面ADE的法向量，

∴，

解得或（舍去）,所以当时，二面角的大小45°。19．（1）因为，所以，即，整理得，又，所以，即（2），令，

因为,所以，在中，，

所以，当且仅当时取等号，此时，为正，所以当取最大值时，

20．（1）由2an﹣an﹣1=32n﹣1（n≥2），得∴，

由2an﹣an﹣1=32n﹣1（n≥2），且3a1=2a2，可得2a2﹣a1=6，即2a1=6，得a1=3．

∴数列{}是以为首项，以为公比的等比数列，

则

（2）∴+（2+22+23+…+2n）==22n﹣21﹣n

，根据等比数列求和公式：

故答案为：。

21．解：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以，即，

所以或（舍去），所以，，

所以椭圆方程为．

当直线的斜率为时，显然，满足题意．

当直线的斜率不为时，设，此时设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得则，即．由韦达定理知，

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所以，从而．

（Ⅱ）

，当且仅当，即（此时满足的条件）时取得等号，故的面积的最大值是．

22.（1）解：，所以在为增函数。

（2）

令

所以，为减函数，所以