正交试验方差分析

正交试验的的方差分析周老师课题组

一.什么是方差分析二.单因素方差分析 三.单指标正交试验中的方差分析 1. 等水平不考虑交互作用 2. 等水平考虑交互作用 3. 混合水平方差分析 四、有重复观测值正交试验的

方差分析

什么是方差分析 极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少 便于推广普及。但这种方法不能将试验中由于试 验条件改变引起的数据波动同试验误差引起的数 据波动区分开来，也就是说，不能区分因素各水 平间对应的试验结果的差异究竟是由于因素水平 不同引起的，还是由于试验误差引起的，无法估 计试验误差的大小。此外，各因素对试验结果的 影响大小无法给以精确的数量估计，不能提出一 个标准来判断所考察因素作用是否显著。为了弥 补极差分析的缺陷，可采用方差分析。

单因素方差分析基本概念为了考察某个因素A对试验指标的影响(即随机变量X)。在试验时保持其他因素不变 而仅让A因素变化(即不同水平),这种试验称为单因素试验。假设试验结果如下：

1 A1 A2 A3

2

3

4

X 11X 21

X 12 X 22

X 13 X 23 X 33

X 14 X 24

X 31

X 32

X 34

我们要研究的问题是数据的差异究竟是由因素的 不同水平引起的还是由随机误差引起的。 即试验的目的就是检验假设：

H 0 1 2 3是否成立。若是拒绝我们就认为这三种水平 之间有显著差异，因素对指标有影响。否则 就认为实验数据的不同是由随机误差引起的。 方差分析就是检验假设的一种方法。

指标X数据的波动我们用如下数学模型来表示SST ( X ij X ) 2i 1 j 1 r n

样本总的偏差平方和 也称数据的总变异

其中r是水平数，n是各水平对应的观测值

1 r n X X ij n i 1 j 11 n 令，Xi. X ij , X i. X ij n j 1 j 1n

对上式做如下变换

SST ( X ij X ) 2 ( X ij X i. X i. X ) 2i 1 j 1 i 1 j 1

r

n

r

n

( X ij X i. ) ( X i. X ) 2 (X ij X i. )( X i. X )2 2 i 1 j 1 r n i 1 j 1 r n i 1 j 1

r

n

r

n

r

n

( X ij X i. ) ( X i. X ) 22 i 1 j 1 i 1 j 1

其中的交叉乘积项

2 ( X ij X i. )( X i. X ) 2 ( X i. X ) ( X ij X i. )i 1 j 1 r i 1 j 1

r

n

r

n

2 ( X i. X )( X i. n X i. ) 0i 1

记则

SSE ( X ij X i. ) , SSA ni ( X i. X ) 22 i 1 j 1 i 1

r

n

r

SST SSE SSA各式的物理意义X所有数据的平均值称为总平均 值 第i个水平的数据平均值称为组平均值 随机误差，又称为组内离差平方和

X i.

SSE 表示每一个数

据与其组平均值的离差平方和，反映了实验中的SS A表示组平均值与总的平均值得离差平方和，反映了由于因素不同水平引 起的差异又称为组间离差平方和

再稍做整理X 总和 2 2 SST ( X ij X ) ( X ij ) N i 1 j 1 i 1 j 1 X 总和 校正项CF Nr 2 r n r n 2

X i. SS A ni ( X i. X ) ( ) CF ni i 1 i 12

r

2

自由度的剖分 总的自由度可以剖分为组间自由度和组内 自由度dfT N 1 df第一组 n1 1 dfE N n df A k 1

定义统计量均方MS=平方和/自由度MS A SSA SS , MSE A df A df A

构造一个F分布

MS A F ~ F (dfA , dfE ) MSE假设检验：显著水平α=0.05,0.01

F F (dfA , dfE) 接受H0;F F (dfA , dfE) 否定H0

正交试验的方差分析正交设计是安排多因素试验 、寻求最优水平组合的一种 高效率试验设计方法。前面柏老师讲的极差分析法是一种

方法，下面我们采用方差分析来找最优组合。 方差分析基本思想是将数据的总偏差平方和分解成因素引 起的偏差平方和和误差引起的偏差平方和两部分，构造F 统计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。

(1)偏差平方和分解：总偏差平方和=各列因素偏差平方和+误差偏差平方和

SST SS因素 SS空列(误差)(2)自由度分解：

dfT df因素 df空列(误差)(3)方差：SS因素 SS误差 MS因素= ,MS误差= df因素 df误差

(4)构造F统计量：MS因素 F因素= MS误差

(5)列方差分析表，作F检验若计算出的F值F0>Fa,则拒绝原假设，认为该 因素或交互作用对试验结果有显著影响；若 F0 Fa,则认为该因素或交互作用对试验结果无 显著影响。

(6)正交试验方差分析说明由于进行F检验时，要用误差偏差平方和SSe及其自由度dfe, 因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。当无 空列时，应进行重复试验，以估计试验误差。 误差自由度一般不应小于2,dfe很小，F检验灵敏度很低，

有时即使因素对试验指标有影响，用F检验也判断不出来。为了增大dfe,提高F检验的灵敏度，在进行显著性检验之前，

先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若MS因(MS交)

<2MSe,可将这些因素或交互作用的偏差平方和、自由

度并入误差的偏差平方和、自由度，这样使误差的偏差平方

和和自由度增大，提高了F检验的灵敏度。

表2 Ln(mk)正交表及计算表格表头设计 列号 试验号 1 2 … n 1 1 … m … … A 1 B 2 … …

… k …

试验数据

xi x1

xi2 x12

…… …

…… … … … …

…… …

x2…

x22…

xnT= xi= 1 n n i

xn2T2 CT n

K1j K2j…

K11 K21…

K1

2 K22…

K1k K2k…

KmjK1j2 K2j2

Km1K112 K212

Km2K122 K222

……

KmkK1k2 K2k2

QT= x 2 ii= 1

SST=QT CT 1 m 2 Q j= K ij r i= 1 SS j=Qj CT

…

…

…

……

…

Kmj2

Km12

Km22

Kmk2