人教版九年级数学上册知识点总结

人教版九年级数学上册知识点总结

第二十一章 二次根式 21.1 二次根式

知识点一 二次根式的概念 (1) 一般地,我们把形如

号。

(2) 正确理解二次根式的概念，要把握以下几点： ① 二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“② 被开方数a必须是非负数，即a≥0.如③ “

”的根指数为2，即“”。如

a(a≥0)的式子叫做二次根式。二次根式a的实质是一个非负数a的算术平方根。其中“

”叫做二次根

4是二次根式，虽然4=2，但2不是二次根式。

2

3就不是二次根式，但式子 3)

是二次根式。

”，一般省略根指数2，写作“”，注意，不可误认为根指数是“1”或“0”。

提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。 知识点二 二次根式的性质

（1）

，我们把这个性质叫做二次a（a≥0）既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a≥（a≥0）

根式的非负性。 （2）（

，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把一a） = a （a≥0）

2

个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。 （3）

a

2

= a (a≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数（式）时，就

可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。 知识点三 代数式

定义：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。

21.2 二次根式的乘除

知识点一 二次根式的乘法法则 一般地，对二次根式的乘法规定：知识点二 积的算术平方根的性质

，积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。 ab=a·（a≥0，b≥0）知识点三 二次根式的除法法则

a·b=ab(a≥0,b≥0)，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

一般地，对二次根式的除法规定：知识点四 商的算术平方根的性质

ab

=

a

b

（a≥0，b＞0），即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

aa

=（a≥0,b＞0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 bb

知识点五 最简二次根式 必须满足以下两个条件：

（1） 被开方数不含分母； ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

21.3 二次根式的加减

知识点一 二次根式的加减

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，二次根式加减法的实质是将被开方数相同的二次根式合并，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变。 知识点二 二次根式的混合运算

（1） 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。 （2） 在二次根式的运算中乘法法则和乘法公式仍然适用。

22.1 一元二次方程

知识点一 一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点：

① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax

2

+ bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三 一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法

知识点一 直接开平方法解一元二次方程

（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x=a(a≥0)的方程，

根据平方根的定义可解得x1=

2

2

a,x= a.

2

2

（2） 直接开平方法适用于解形如x=p或(mx+a)=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；

负数没有平方根。

（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平

方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二 配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1） 把常数项移到等号的右边； ⑵方程两边都除以二次项系数；

⑶

方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷ 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

22.2.2 公式法

知识点一 公式法解一元二次方程

（1） 一般地，对于一元二次方程ax

2

+bx+c=0(a≠0)，如果b-4ac≥0，那么方程的两个根为x=

2

b b

2a

2

4ac

，这个公

式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：

① 方程化为一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值，注意符号；

③求出b-4ac的值； ④若b-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式

2

2

2

2

2

式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b-4ac.

△＞0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 一元二次方程△=0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 根的判别式 △＜0，方程ax+bx+c=0(a≠0)无实数根222

222

22.2．3 因式分解法

知识点一 因式分解法解一元二次方程

（1） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方

法叫做因式分解法。

（2） 因式分解法的详细步骤：

① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； ③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。 知识点二 用合适的方法解一元一次方程

22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程x+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=，

22

bc,x1x2=

aa

22.3 实际问题与 …… 此处隐藏：8415字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……