人口指数增长模型和Logistic模型

利用MATLAB软件,解决人口指数增长及Logistic模型中的参数,用于预测未来人口的变化趋势

根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型和Logistic模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。

rt

x(t) xe 0

指数增长模型：

Logistic模型：x t

xm

x

1 m 1 e rt

x0

解：模型一:指数增长模型。Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r，记时刻t的人口为 x(t)，（即x(t)为模型的状态变量）且初始时刻的人

dx

rx

口为x0，因为 dt由假设可知x(t) x0ert 经拟合得到：

x(0) x0

x(t) x0ert lnx(t) lnx0 rty lnx(t),a1 r,a2 lnx0

y a1t a2

a2

r a1,x0 e

程序：

t=1790:10:1980;

x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5

123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ]; y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t);

plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果：a = 0.0214 -36.6198

r= 0.0214

x0= 1.2480e-016 所以得到人口关于时间的函数为：x(t) x0e0.0214t，其中x0 = 1.2480e-016， 输入：t=2010;

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x0 = 1.2480e-016; x(t)=x0*exp(0.0214*t)

得到x(t)= 598.3529。即在此模型下到2010年人口大约为598.3529 106。

350

300

250

200

150

100

50

01780

1800182018401860188019001920194019601980

模型二：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为 x 的减函数，如设r(x) r(1 x/xm)，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ，xm为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分方程：

x dx

rx(1 )

xm dt

x(0) x

0

建立函数文件curvefit_fun2.m

function f=curvefit_fun2 (a,t)

f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790))); 在命令文件main.m中调用函数文件curvefit_fun2.m % 定义向量（数组） x=1790:10:1990;

y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ... 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4]; plot(x,y,'*',x,y); % 画点，并且画一直线把各点连起来 hold on;

a0=[0.001,1]; % 初值

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% 最重要的函数，第1个参数是函数名（一个同名的m文件定义），第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点 a=lsqcurvefit('curvefit_fun2',a0,x,y); disp(['a=' num2str(a)]); % 显示结果 % 画图检验结果 xi=1790:5:2020;

yi=curvefit_fun2(a,xi); plot(xi,yi,'r'); % 预测2010年的数据 x1=2010;

y1=curvefit_fun2(a,x1) hold off 运行结果：

a=311.9531 0.02798178 y1 =267.1947

其中a(1)、a(2)分别表示x t

xm

x 1 m 1 e rt

x0

中的xm和r，y1则是对美国美

国2010年的人口的估计。

300

250

200

150

100

50

01750

180018501900195020002050

第二题：

问题重述：

一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给与鼓励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量

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的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：

问题分析：

鲈鱼的体重主要与鱼的身长、胸围有关系。一般来说，鲈鱼的胸围越大，鱼的体重会越重，身长越长，体重也越重。但鱼的胸围与身长之间又有些必然的联系，共同影响鱼的体重。建模的目的是寻求鲈鱼体重与身长、胸围之间的数量规律

模型假设：

1、鲈鱼的身长越长体重越重，体重与身长存在正相关关系； 2、鲈鱼的胸围越大体重也越重，体重与胸围存在正相关的关系； 3、鲈鱼的胸围、身长互相影响，共同作用鲈鱼的体重； 4、鲈鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体。 符号说明：

模型的建立及求解：

（一）、鲈鱼体重与身长模型的确立

为了研究鲈鱼身长与体重的关系，我们利用已测量的数据，取出身长及体重的数据，利用MATLAB软件画出散点图，如下：

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身长与体重散点图

14001300

120011001000

体重

90080070060050040030

32

34

36

38身长

40

42

44

46

从图形上看，鲈鱼的体重与身长可能是二次函数关系，我们利用多项式拟合的方法，得到：

W 1.6247*L2-59.3124*L +709.7392

(1)

根据拟合的函数，我们画出拟合图：

身长与体重拟合图

20001800

1600140012001000800600400200

30

32343638404244464850

从拟合图上看，大部分原始数据在拟合函数附近，说明用二次函数拟合的效果较好，下面利用得出的函数对鱼的体重进行估计，用相对误差检验拟合度，得到下表：

表一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表

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从表中的数据，我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大，说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。 （二）、鲈鱼体重与胸围的模型确立

仅仅考虑鲈鱼胸围对体重的影响，我们采用与模型一相同的方法，先画出鲈鱼体重与胸围的散点图：

胸围与体重散点图

体重

20

22

24

26胸围

28

30

32

从图形上看，鲈鱼体重与胸围可能成线性关系，利用多项式拟合的方法，我们得到鲈鱼体重与胸围的函数表达式：

W 92*C-1497.5 (2) 根据拟合函数（2），画出胸围与体重关系的拟合图：

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胸围与体重拟合图

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

利用拟合函数及实际数据，求出实际值与拟合值得相对误差表：

从鲈鱼胸围与体重的拟合图，及表二中的数据，我们可以得出用线性函数拟合胸围与体重的关系拟合程度高，鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大，说明用线性函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。 （三）、建立体重与身长、胸围相互影响的模型

实际情况下，鲈鱼的体重不可能只由身长、胸围单方面影响，因此考虑建立身长、胸 …… 此处隐藏：2241字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……