【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第十一章

第二节 证明不等式的基本方法

1.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有作差比较法和作商比较 法两种.

a-b>0 a-b<0 a>b

2.综合法与分析法

(1)综合法:已知条件 出发，利用_____ 定义 、公理、_____ 定理 、性质 一般地，从_________

推理 、_____ 论证 而得出命题成立，这种证明方 等，经过一系列的_____顺推证法 或由因导果法. 法叫做综合法.综合法又叫_________

(2)分析法:要证的结论 出发，逐步寻求使它成立的_____ 充分 证明命题时，从___________

条件 ，直至所需条件为_________ 已知条件 或___________________( 一个明显成立的事实 定 _____义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成 立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证 明方法.

3.反证法 不成立 ，以此为出发点，结合已知条件， (1)假设要证的命题_______ 命 应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和___ 题的条件 或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的 _________( 原命题成立 ，我们把它称 结论，以说明假设不正确，从而证明___________ 为反证法. (2)证明步骤:反设→归谬→肯定原结论.

4.放缩法 放大 或___ 缩 (1)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_____

小 ，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为 ___放缩法. > (2)理论依据a>b,b>c a___c.

判断下面结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”). (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )

(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件 出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( )

(3)分析法又叫递推证法或执果索因法，是从待证结论出发， 一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条 件或已被证明的事实.( )

(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( (5)放缩法就是把分式的分子放大，分母缩小.( )

)

【解析】(1)错误.当使用作商比较法时要判断与1的大小关系 才能得出结论. (2)正确.根据综合法的定义可得结论正确. (3)错误.根据分析法的定义，应把“必要条件”改为“充分条 件”才是正确的结论. (4)错误.根据反证法的定义，“反设”能作为已知条件充分使 用. (5)错误.不符合放缩法的定义. 答案: (1)〓 (2)√ (3)〓 (4)〓 (5)〓

1.设t=a+2b,s=a+b2+1,则s与t的大小关系是(

)

(A)s≥t

(B)s>t

(C)s≤t

(D)s<t

【解析】选A.≧s-t=(a+b2+1)-(a+2b)=b2-2b+1= (b-1)2≥0, s≥t.

2.若a>b>c,则一定成立的不等式是( (A)a|c|>b|c| (C)a-|c|>b-|c| (B)ab>ac (D) 1 1 1a b c

)

【解析】选C.当c=0时，选项A不成立；当a<0时，选项B不成立； 当a=1,c=-1时，选项D不成立; ≧a>b,

选项C成立.

3.已知0<a,b<1,用反证法证明a(1-b),b(1-a)不能都大于 1 时，4

反设正确的是(

)

1 4 (B)a(1-b),b(1-a)都小于 1 4

(A)a(1-b),b(1-a)都大于

1 4 (D)a(1-b),b(1-a)都小于或等于 1 4

(C)a(1-b),b(1-a)都大于或等于

【解析】选A.“不能都大于”的否定是“都大于”.

4.若x>0,y>0,P= x y , Q= x y , 则P,Q的大小关系是1 x y 1 x 1 y

( (A)P=Q (B)P<Q (C)P≤Q (D)P>Q

)

【解析】选B. Q x y 1 x 1 y

x y x y P, 1 x y 1 y x 1 x y

即P<Q.

考向 1

用比较法证明不等式

【典例1】(1)(2013·荆门模拟)已知p=x6+1,q=x4+x2,x∈R,则 有( ) (B)p>q (C)p≤q (D)p<qb 1 a 1 b

(A)p≥q

(2)(2013·咸宁模拟)已知0<a< 1 , 且 M 1 1 ,N a b , 则M,N的大小关系是________. 1 a 1 ba b 2

(3)求证:①当x∈R时，1+2x4≥2x3+x2; ②当a,b∈(0,+∞)时，aabb≥(ab) .

【思路点拨】(1)用作差比较法判断证明.(2)可用作差比较法， 也可用作商比较法.(3)第①小题的不等式为一元型的整式不等 式，可以考虑采用作差比较法；而第②小题是幂指型的不等式， 可考虑采用作商比较法.