高等数学(一)学习笔记

考研用的,最精简的高等数学,理解即可通过考试。

高等数学(一)学习笔记

一、函数、极限、连续1、函数的概念设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每一个数x∈D,变量y按照一定的

法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记做y=f(x).2、函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性

奇偶性：设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x∈D,则必-x∈D)，如果对于任意x∈D，f(-恒成立，则称f(x)为偶函数；如果对于任意x∈D，f(-x)==-f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数。单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上的任意两点x1及x2,当x1<x2时，f(x1)<f(x2)恒成立，则称f(x)为在区间I上单调增加；如果f(x1)>f(x2)恒成立，则称f(x)为在区间I上单调减少。

有界性：设函数f(x)的定义域为D，数集X D，如果存在正数M，使得对于任一x∈X,|f(x)|≤M恒成立，则称f(x)为在区间X上有界。

周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l，使得对于任一x∈D,有x±l∈D,且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数。l为f(x)为最小周期。

3、复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数概念

复合函数：设函数f(u)的定义域为D1，u= (x)，定义域为D2,值域为W2，若W2 D1,则称y=f[ (x)]为复合函数。

4、基本初等函数的性质及图形

幂函数：y=x

µ

u为常数(u=1，2，3，-1，1/2为常见函数，记住图形！)

x

指数函数：y=a(a为常数，且a>0,a≠1)定义域为(一∞,+∞)值域为(0,+∞)且过(0,1)点(即图形完全在x轴上方).(I、若a>1,则指数函数是单调增加的，若a<1,则指数函数是单调减少的。)

对数函数：y=loga(a为常数，且a>0,a≠1)定义域为(0,+∞)值域为(一∞,+∞)且过(1,0)点(即图形完全在y轴右方).(I、若a>1,则对数函数是单调增加的，若a<1,则对数函数是单调减少的。II、与指数函数互为反函数，且关于y=x对称)。(自然对数函数：y=lnx)三角函数：y=sinx;y=cosx;

正切函数：y=tgx定义域D={xx∈R,x≠(2n+1)

调递增。

余切函数：y=ctgx定义域D={xx∈R,x≠nπ,n∈Z)},为奇函数，π为周期,周期内单调递增。反三角函数：

反正弦函数：y=Arcsinx定义域D={x-1≤x≤1},为多值函数，2π为周期。若限制值域为[-+

x

π

,n∈Z)},为奇函数，π为周期,2

周期内单

π，2

π

],则y=arcsinx为定义在区间D上的单值函数(即为反正弦函数。)单加2

反余弦函数：y=Arccosx定义域D={x一1≤x≤1},为多值函数，2π为周期。若限制值域为[0，+π],则y=arccosx为定义在区间D上的单值函数(即为反余弦函数。)单减

反正切函数：y=Arctgx定义域D={x一∞≤x≤+∞},为多值函数，π为周期。若限制值域为[-

ππ

，+],则y=arctgx为定义在区间D上的单值函数(即为反正切函数。)单调增加22

反余切函数：y=Arccosx定义域D={x一∞≤x≤+∞},为多值函数，π为周期。若限制值域为[0，+π],则y=arccosx为定义在区间D上的单值函数(即为反余切函数。)单调减少

5、数列的极限定义：如果对于任意给定的正数ε(不论它多幺小)，总存在正整数N，使得对于n>N时的一切xn,不等式xn a<ε都成立，那幺就称常数a是数列xn的极限，或者称数列xn收敛于a,记为

limxn=a,或xn→a(n→∞).

n→∞

xn不能收敛于两个不同的极限。

(2)、定理二：收敛数列有界性，如果数列xn收敛，那幺数列xn一定有界。

(1)、定理一：极限唯一性，数列Mark_Ma

5/7/11

Page1of6

考研用的,最精简的高等数学,理解即可通过考试。

6、函数的极限

(1)、x→x0时的极限

定义：如果对于任意给定的正数ε(不论它多幺小)，总存在正数δ，使得对于|x一x0|<δ时的一切x,

对应的函数值都满足不等式|f(x)-A|<ε都成立，那幺就称A是函数f(x)的极限，或者称函数f(x)收敛于A,记为limf(x)=A,或f(x)→A(x→x0).

x→x0

定理一：如果lim

x→x0

f(x)=A，而且A>0(或A<0),那幺就存在着点x0的某一去心邻域，当x在该邻

f(x)=A,那幺A≥0(或A≤0).

域时，就有f(x)>0(或f(x)<0).

定理二：如果在点x0的某一去心邻域内f(x)≥0(或f(x≤0),而且lim可证明：f(x0-0)=f(x0+0)为lim

x→x0

x→x0

f(x)=A存在的充要条件。

(2)、x→∞时的极限

定义：如果对于任意给定的正数ε(不论它多幺小)，总存在正数X，使得对于|x|>X时的一切x,

对应的函数值都满足不等式|f(x)-A|<ε都成立，那幺就称A是函数f(x)的极限，或者称函数f(x)收敛于A,记为limf(x)=A,或f(x)→A(x→∞).

x→∞

7、无穷小和无穷大

(1)、无穷小，极限为0，则称函数为无穷小(当x→

x0或x→∞).

x0或x→∞)，具有极限

A、定理一(无穷小与函数极限的关系)：在自变量的同一变化过程中(x→

的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果一函数可表示为一常数和无穷小之和，则这常数即为这函数的极限。

B、运算法则：I，有限个无穷小的和也是无穷小。II，有界函数与无穷小的积是无穷小(常数与无穷小的积是无穷小;有限个无穷小的积也是无穷小)C、无穷小的比较：

α

=0,就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α);βα

II、如果lim=∞,就说β是比α低阶的无穷小。

βαα

III、如果lim=c≠0,就说β与α是同阶的无穷小。IV、如果lim=1,就说β与α是等价的无

ββ

穷小，记作α~β(技巧：求两个无穷小之比的极限时，可用等价的无穷小来代替简化。)

I、如果lim

(2)、无穷大，极限为∞，则称函数为无穷大(当x→

x0或x→∞).

(3)、无穷大与无穷小的关系：互为倒数(f(x)≠0)8、极限的运算法则

(1)、如果limf(x)=A,limg(x)=B,则存在，且limg(x)。

(2)、如果limf(x)=A,limg(x)=B,则lim[f(x).g(x)]存在，且lim[f(x).g(x)]=A.B=limf(x).limg(x)。(特例：如果limf(x)存在，而n是正整数，则lim[f(x)]=[limf(x)]。

(3)、如果limf(x)=A,limg(x)=B,且B≠0，则lim[f(x)/g(x)]存在，且lim[f(x)/g(x)]=A/B=limf(x)/limg(x)。(4)、如果 (x)≥φ(x),而lim (x)=a,limφ(x)=b,那幺，a≥b.9、极限存在准则

準则一：如果數列xn、yn及zn滿足下列條件：(1)、

n→∞

n→∞

n

n

yn≤xn≤zn(n=1，2，3…),(2)、

limyn=a,limzn=a,那麼數列xn的極限存在，且limxn=a。

n→∞

推論：如果(1)，當x屬於x0的r鄰域(或|x|>M)時，有g(x)≤f(x)≤h(x),(2),limg(x)=A,limh(x)=A,那麼limf(x)存在且为A。(夾逼準則)準則二：單調有界數列必有極限。兩个重要極限公式：lim10、函數的連續性概念Mark_Ma

sinx1

=1；lim(1+)n=e

x→0n→∞xn

5/7/11

Page2of6

考研用的,最精简的高等数学,理解即可通过考试。

定義：設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果函數f(x)當x→

x→x0

x0時的極限存在且等於它在x0點

處的函數值f(x0)，即limf(x)=f(x0),那麼就稱函數f(x)在點x0連續。(也可用 x- y或ε-δ定義)

左

連續和右連續的概念。間斷點類型：

(I)、第 …… 此处隐藏：8196字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……