数理统计课件 4.3 非参数假设检验方法

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§4.3 非参数假设检验方法

前面介绍的各种统计假设的检验方法，几乎都假定了总体服从正态分布，然后再由样本对分布参数进行检验。但在实际问题中，有时不能预知总体服从什么分布，从而就需要根据样本来检验关于总体分布的各种假设，这就是分布的假设检验问题，也称为非参数假设检验。本节主要介绍χ2拟合优度检验，柯尔莫哥洛夫—斯米尔诺夫（Kolmogrov-Smirnov）检验和独立性检验。 一、χ2拟合优度检验

1. 多项分布的χ2检验法

设总体X是仅取m个可能值的离散型随机变量，不失一般性，设X的可能值是1,2,",m, 且

P(X=i)=pi,i=1,2,"m, 且∑pi=1.

i=1m

设(X1,X2,"Xn)T是从总体X中抽得的简单随机样本，(x1,x2,"xn)T是样本观察值。用Ni表示样本

(X1,X2,"Xn)T中取值为i的个数，即样本中出现事件

{X=i}的频数，则Ni是样本的函数，所以(N1,N2,",Nm)T是

随机向量，且有∑Ni=n.

i=1

m

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可证明(N1,N2,",Nm)T服从多项分布，其概率分布为

P(N1=n1,N2=n2,",Nm=nm)=

n!nmn2

p1n1p2",pm,

n1!n2!"nm!

(4.21)

需要检验假设

H0:pi=pi0 H1:pi≠pi0(i=1,2,",m), 其中pi0是已知数。

检验的统计量?

我们知道，频数是概率的反映。如果总体的概率分布的确是(p10,p20,",pm0)，那么当观察个数n愈来愈大时，频率

NiN

与pi0之间的差异将越来越小，因此频率i与pi0nn

之间的差异程度可以反映出(p10,p20,",pm0)是不是总体的真分布。

卡尔 皮尔逊首先提出运用统计量

(Ni npi0)2

（4.22） χ=∑

npi0i=1

2

n

m

来衡量

Ni

与pi0之间的差异程度，这个统计量称为皮尔逊n

统计量。

直观上比较清楚，如果(p10,p20,",pm0)是总体服从的真实概率分布，统计量χn2要偏小些，否则就有偏大的趋

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势。因此χn2可以用来作为多项分布的检验统计量。但是还需要知道它的分布，下面的定理给出了它的渐近分布。 定理4.1当H0为真时，即(p10,p20,",pm0)是总体的真实概率分布时，由式（4.22）定义的统计量χn2渐近服从自由度为m 1的χ2分布，即

x m(Ni npi0)2

<x =∫0χ2(y,m 1)dy,x>0, （4.23） limP ∑n→∞npi0

i=1

m 3x

1 22

xe,x>0m 1 m 1

其中χ2(x,m 1)= 22Γ( )

2

x≤0 0,

是χ2(m 1)的分布密度函数。 定理4.1的证明从略。

由定理4.1知，当n充分大时，可以近似地认为χn2近对给定的检验水平0<α<1，由χ2分似服从χ2(m 1)分布。

布表求出常数χα2(m 1)，使

22

P{χn≥χα(n 1)}≈α.

对应的(N1,N2,",Nm)T 给定一组样本值(x1,x2,",xn)T，

的值为(n1,n2,",nm)T，由式（4.22）计算出χn2的观察值

(ni npi0)2 =∑ χ.

npi0i=1

2

n

m

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22 n(m 1)，如果χ≥χα则拒绝假设H0，即认为总体的分布与22

α α(m 1)，则接受<χ假设H0中的分布有显著差异；若χ

H0，即认为总体的分布与假设H0中的分布无显著差异。

例5.10 将一颗骰子投了120次，结果如下： 点数：1，2，3，4，5，6. 频数：21，28，19，24，16，12. 问这颗骰子是否匀称？(α=0.05) 解: 依题意，欲检验假设

H0:pi= H1:pi≠(i=1,2,",6), 计算得

111

(21 120×)2(28 120×)2(19 120×)22++ n= χ

111120×120×120×

666

111

(24 120×)2(16 120×)2(12 120×)2

++ +

111120×120×120×

666

=8.1.

222

n对α=0.05，查附表3得χ0.05(6 1)=11.07.因为χ<χ0.05(5)，

1

616

故接受假设H0，即认为这颗骰子是匀称的。

当总体X不具有多项分布，但其分布函数F(x)具有明确表达时，设X1,X2,",Xn是来自F(x)的样本，欲检验

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假设H0:F(x)=F0(x)（F0(x)是某个已知的分布）。 为此，选取m 1个实数 ∞<a1<a2<"<am 1<∞，它们将实轴分为m个互不包含的区间：

A1=( ∞,a1),A2=[a1,a2),",Am=[am 1,+∞)，记

p10=F0(a1),

pi0=F0(ai) F0(ai 1),i=2,3,",m 1, （4.24）

pm0=1 F0(am 1),

设(x1,x2,",xn)T是容量为n的一组样本值，ni为样本值落当入Ai的频数，∑ni=n,则(N1,N2,",Nm)T服从多项分布。

i=1m

假设H0:F(x)=F0(x)成立时，由定理3.1得到，统计量

(Ni npi0)2

χ=∑ （4.25）

npi0i=1

2

n

m

的分布渐近于自由度为m 1的χ2分布，因此关于分布函数的检验问题又归结为多项分布的χ2检验问题。 例4.11 在某盒中装有白球和黑球。现做下面的实验：用返回抽取方式从此盒中摸球，直到取到白球为止，记录下抽取的次数，重复如此的试验100次，其结果见表4.3. 表4.3

抽取次数

4

≥5

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频 数 4365

试问该盒中的白球与黑球个数是否相等(α=0.05)？ 解: 记总体X表示首次出现白球所需的摸取次数，则X服从几何分布

P(X=k)=(1 p)k 1p,k=1,2,", 其中p表示从此盒中任意摸一球为白球的概率。

如果盒中白球与黑球的个数相等，此时p=，代入上式得到 P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,

∞

11

P(X=4)=,P(X≥5)=∑2 k=.

1616k=5

1

2

121418

欲检验假设H0:p1=,p2=,p3=,p4=

12141811,p5=. 1616

将此次试验的频数代入式（4.25）得到χn2统计量的观察

(ni npi0)2(43 50)2(31 25)2

=∑值为 χ=+

np5025i=1i0

2

n

5

(15 12.5)2(6 6.25)2(5 6.25)2

+++=3.2

12.56.256.25

2

自由度=5-1=4，由χ2分布查表得χ0.05(4)=9.488，对α=0.05，

22

n<χ0.05(4)，因此接受假设H0，即认为盒中白球与黑因χ

球个数相等。

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2.分布中含有未知参数的χ2检验

前面讨论了多项分布和分布形式完全确定情形的χ2检验方法。但在许多场合，假设H0只确定了总体分布的类型，而分布中含有未知参数θ1,θ2,",θr.例如最常见的是要检验假设：总体X服从正态分布N(µ,σ2)。这里假设给出了一个分布族N(µ,σ2)，其中包含了两个未知参数µ和

σ2。对于这类问题，需检验假设：

H0:F(x)=F0(x;θ1,",θr) H1:F(x)≠F0(x;θ1,",θr), （4.26）

其中F0形式已知，而θ1,",θr未知。

从总体中抽取一个样本，令θ 1,",θ r是未知参数

θ1,",θr的最大似然估计，将其代入F0的表达式，那么

,",θ )变成已知函数，将它代入式（4.25）得到F0(x;θ1r

,",θ ) p 10=F …… 此处隐藏：3015字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……