北京市海淀区2020届高三一模数学试题(word版含答案)

2020年北京市海淀区高三年级第二学期阶段性测试

数学

2020春

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40 分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数)2(i i -对应的点位于

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

（2）已知集合{}

30<<=x x A ，{}

1=B A I ，则集合B 可以是 （A ）{1，2}（B ）{1，3}（C ）{0，1，2}（D ）{1，2，3} （3）已知双曲线)0(122

2

>=-b b y x 的离心率为5 ，则b 的值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4

（4）已知实数c b a ,,在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是

（A ）a c a b +<-（B ）ab c <2（C ）a

c b c >（D ）c a c b < （5）在6)21(x x -的展开式中，常数项为

（A ）-120（B ）120（C ）-160（D ）160

（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '

与直线l 相切于点B ．点A 运动到点A '，线段AB 的长度为23π，则点M '到直线A B '的距离为

（A ）1（B ）23（C ）22 （D ）2

1 （7）已知函数m x x f -=)(与函数)(x g 的图象关于y 轴对称．若)(x g 在区间（1,2）内单调递减，则m

的取值范围为

（A ）[-1，+∞)（B ）（-∞，-1] （C ）[-2，+∞)（D ）（-∞，-2]

（8）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为

（A)5（B ）22

（C ）32（D)13

（9）若数列{}n a 满足21=a ，则“r p r p a a a N r p =∈?+*，，”是“{}n a 为等比数列”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（10）形如n 22（n 是非负整数）的数称为费马数，记为n F ．数学家费马根据43210F F F F F ，，，，都是质

数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出5F ，不是质数，那么5F 的位数是

（参考数据；3010.02lg ≈ )

（A ）9（B ）10（C ）11（D ）12

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知点P （1，2）在抛物线C ：y 2 =2px 上，则抛物线C 的准线方程为．

（12）在等差数列{a n }中，a 1=3，a 2+a 5=16，则数列{a n }的前4项的和为．

（13）已知非零向量a ，b 满足|a |=|a -b |，则（a-12

b ）·b =．

（14）在△ABC 中，AB=B=

4π，点D 在边BC 上，∠ADC=23π，CD=2，则AD=； △ACD 的面积为．

（15）如图，在等边三角形ABC中，AB=6．动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,

f x，给

记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为()

出下列三个结论：

f x的最大值为12 ；

①函数()

f x的图象的对称轴方程为x=9；

②函数()

f x=kx+3最多有5个实数根．

③关于x的方程()

其中，所有正确结论的序号是．

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题共14分）

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB=BB1=2BC=2，BC1=3，点E为A1C1的中点．

（I）求证：C1B⊥平面ABC：

（II）求二面角A—BC—E的大小．

（17）（本小题共14分）

已知函数2

12()2cos sin f x x x ωω=+．

（I ）求(0)f 的值； （II ）从① 11ω=，22ω=；②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()

f x 在,26ππ??-????

上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期． 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

（18）（本小题共14分）

科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：

其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）． （I ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率； （II ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X 表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X

的分布列和数学期望；

（III ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．

（19）（本小题共15分）

已知函数()x f x e ax =+．

（I ）当a=-1时，

①求曲线()y f x =在点（0，)0(f ）处的切线方程；

②求函数()f x 的最小值：

（II ）求证：当a ∈（-2，0）时，曲线()y f x 与y=1-lnx 有且只有一个交点．

（20）（本小题共14分）

已知椭圆C ：)0,0(122

22>>=+b a b

y a x 的离心率为23，)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(b B ，21BA A ?的面积为2.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线B A 1与直线M A 2交于点P ，直线M A 1与直线B A 2交于点Q ．求证：BPQ ?为等腰三角形．

（21）（本小题共14分）

已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列，若存在常数*

∈N k ，使得n n n ka a a =+-212，对任意的*∈N n 成立，则称数列{}n a 具有性质)(k ψ．

（Ⅰ）分别判断下列数列{}n a 是否具有性质)2(ψ；（直接写出结论）

①1=n a ；②n n a 2=．

（Ⅱ）若数列{}n a 满足),3,2,1(1Λ=≥+n a a n n ，求证：“数列{}n a 具有性质)2(ψ”是“数列{}n a 为常数列”

的充分必要条件；

（Ⅲ）已知数列{}n a 中11=a ，且),3,2,1(1Λ=>+n a a n n ．若数列{}n a 具有性质)4(ψ，求数列{}n a 的通项

公式.

2020年北京市海淀区高三年级第二学期阶段性测试

参考答案 数 学 2020春

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.

注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面11BB C C ，1C B ?平面11BB C C

所以1AB C B ⊥.

在△1BCC 中，1BC =,1BC =12CC =,

所以22211BC BC CC +=.

所以1CB C B ⊥.

因为AB BC B =I ,,AB BC ?平面ABC ，

所 …… 此处隐藏：2097字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……