线性代数习题及答案-华工版(3)

bx1 bx2 axn 0 ，a 0, b 0, n 2。

讨论方程组何时仅有零解？何时有无穷多解？

ab b

ba b

[a (n 1)b](a b)n 1

bb a解：方程组系数矩阵的行列式 。当

aa

b a,b a,n 1

[a (n 1)b](a b) 0时，即1 n时，方程组仅有零解；当1 n时，

方程组有无穷多解。

提高题

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1.

证明：线性方程组

a11y1 a12y2 a1nyn b1

ay ay ay b

mnnm m11m22

有解的充分必要条件是

a11x1 a12x2 am1xm 0

ax ax ax 0

mnm 1n12n2

的解全是 b1x1 bmxm 0的解。

a11y1 a12y2 a1nyn b1

ay ay ay b

m22mnnm

证明：1）若方程组 m11有解，设(k1,k2, ,km)是方程组

a11x1 a12x2 am1xm 0

ax ax ax 0

mnm 1n12n2

的解。则

a11k1 am1km 0

ak ak 0

mnm 1n1

，从而

b1k1 bmkm (a11k1 am1km)y1 (a1nk1 amnkm)yn 0 。

a11x1 a12x2 am1xm 0

ax ax ax 0

mnm 1n12n2

2）若

的解全是 b1x1 bmxm 0的解，即

a11x1 a12x2 am1xm 0 a11x1 a12x2 am1xm 0

a1nx1 a2nx2 amnxm 0 ax ax ax 0 bx bx bmxm 0mnm 1n12n2 与 1122 同解，所以矩阵

a11a12 a1n

a11a12 a1n am1am2 amn a bb ba a2n 1mn m1m2

与矩阵

的秩相等。而它们的转置即为方程组

a11y1 a12y2 a1nyn b1

ay ay ay b

mnnm m11m22

的系数矩阵和增广矩阵，由于转置矩阵与原矩阵的

秩相等，所以方程组

2. 已知平面上三条不同直线的方程分别为：

a11y1 a12y2 a1nyn b1

ay ay ay b

mnnm m11m22

有解。

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l1：ax 2by 3c 0， l2：bx 2cy 3a 0， l3：cx 2ay 3b 0。 证明：这三条直线交于一点的充分必要条件为 a b c 0。

证明：1）设三条直线交于一点，则三条直线对应的方程构成的方程组有唯一解。由于三条直线不同，所以方程组的系数矩阵秩为2，故增广矩阵的秩也必须为2。即行

列式

a2b 3c

b2c 3a 6(a b c)[(a b)2 (b c)2 (c a)2] 0c2a 3b

，故a b c 0。

2）若a b c 0，三条直线对应的方程增广矩阵的秩小于3。

a2b13

2(ac b2) 2[(a b)2 b2 0b2c24又，所以系数矩阵的秩为2。从而方程

组有唯一解。 3．已知方程组

x1 x2 2x4 6 x1 mx2 x3 x4 5 4x1 x2 x3 x4 1 nx2 x3 2x4 11 3x x x 3 x 2x t 112334 （I） 与 （II） 。

问方程组（II）中的参数m,n,t为何值时，方程组（I）与（II）同解。

解：因为方程组（I）与（II）同解，则方程组（I）与（I）、（II）联立的方程组同解。（I）、（II）联立的方程组增广矩阵为

11 4 1

3 1

1m 0n 00

0 1 1 1 11 2 10 1 2 2

6 1

0 1

3 0

5 0 11 0

t 1 0

100000 10 11 20m 20 4 n00

2

4 5

4(m 2) 4(n 4)

t 6 。

所以m 2，n 4，t 6 。

4．给定齐次线性方程组

其中

anx a11x11n 0

ax ax 0

nnn n11

，

A (aij)

的行列式

A 0

，且存在一Akt 0，若 (x1, ,xn)是方程组的任一非

xx1x

2 n

Akn 。 零解，证明：Ak1Ak2

A 0

证明：由于，且存在一Akt 0，所以齐次方程组的系数矩阵的秩为n 1，基

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础解系中仅含一个非零解。又(Ak1, ,Akn)是齐次方程组的一个非零解，所以

xx1x

2 nAk1Ak2Akn

习题四

1.设 1 (2,5,1,3)， 2 (10,1,5,10)， 3 (4,1, 1,1)。且向量 满足

3( 1 ) 2( 2 ) 5( 3 )，求 。

解： (1,2,3,4)。

2. 下列向量组中，向量 能否可由 1， 2， 3线性表示？若能，写出表示式，并说明表示式是否唯一。

1） 1 (1,1,1,1)， 2 (1,1, 1,1)， 3 (1, 1,1, 1)， (1,2,1,2)； 2） 1 (1,2,1,3)， 2 (1, 3, 4, 7)， 3 (2,1, 1,0)， (4, 1, 5, 6)。

解：1）因为式是唯一的。

111

11 1 1 11

11 1

11 2 0 1 0 2 0

1 4 1 0 5

0 6

0

10 0

01 31 3 100 0 22。表示，故00 010

0 0

0 0

2）因为

112

2 31

1 4 1

3 70

，故表示式不唯一，其

中一个表示为

3. 判断下列向量组是否线性相关：

1） 1 (2,3,6)， 2 (5,2,0)， 3 (7,5,6)； 2） 1 (1,3,4, 2)， 2 (2,1,3, 1)， 3 (3, 1,2,0)； 3） 1 (1,2,3)， 2 (2,3,1)， 3 (1,3,t)；

222

(1,c,c)。 (1,a,a) (1,b,b) 4）1，2，3

119

1 255 。

解：1）线性相关；2）线性无关；3）当t 8时线性相关，当t 8时线性无关。 4）当a,b,c有某两个相等时线性相关，当a,b,c互不相同时线性无关。 4. 设

1， 2， 3线性无关，证明 1， 1 2， 1 2 3也线性无关。

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)2 k(3 2 11 2 )3 证明：设有 k1 1 k( 0，即

(k1 k2 k3) 1 (k2 k3) 2 k3 3 0 。由于 1， 2， 3线性无关，所以(k1 k2 k3) (k2 k3) k3 0， 1 2， 1 2 3

推出k1 k2 k3 0。故 1，

也线性无关。

5. 设向量组 1, , s线性无关，而向量组 1, , s， 线性相关。证明 可表示成 1, , s的线性组合，且表示式是唯一的。

证明：因为向量组 1, , s， 线性相关，故存在不全为零的k1, , ks,k使得

k1 1+ ks s k 0 。若k 0，则k1 1+ ks s 0。又 1, , s线性无

关，可得k1 ks 0，此与k1, , ks,k不全为零矛盾，所以k 0。从而有

(k1 1+ ks s)

1k

，即 可表示成 1, , s的线性组合。

下证表示式是唯一。设有 k1 1+ ks s l1 1+ ls s，可得

(k1 l1) 1+ (ks ls) s 0 。由 1, , s线性无关，可得k1 l1 ks ls 0，即表示式是唯一的。

6. 判断下列两向量组是否等价：

1 (1,2,1,1)

(1,1,1,1) 1） 2 ，

1 (1,1, 1, 1)

2 (1, 1,1, 1) (1, 1, 1,1) 3

；

1 (1,2,1)

(1, 1, 2)

2） ， 2 ；

3） 1， 2， 3； 1 1 2， 2 2 3， 3 3 1。

1 (1,1,0)

2 (0,1,1) (1,0, 1) 3

1 2 1 1

1111

解：1）因为等价。

111 11

0 1 1 1 1

11 1 00

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