线性代数习题及答案-华工版

线性代数习题及答案,华南理工大学版的

习题一

1.计算下列排列的逆序数 1）9级排列 134782695；

2。1 2）n级排列 n(n 1)

解：（1） (134782695) 0 4 0 0 4 2 0 0 0 10 ；

n(n 1)

(n 1) (n 2) 1 0

2 。 （2） [n(n 1) 21] 2.选择i和k，使得： 1）1274i56k9成奇排列；

2）1i25k4897为偶排列。

解：（1）令i 3,k 8，则排列的逆序数为： (127435689) 5，排列为奇排列。从而i 3,k 8。

（2）令i 3,k 6，则排列的逆序数为： (132564897) 5，排列为奇排列。与题意不符，从而i 6,k 3。 3.由定义计算行列式

a11a21a31a41a51

aaaaa

1222324252

000aa

000a53a

43

000a5a4

44

4555 。

解：行列式＝j1j2j3j4j5，因为j1,j2,j3至少有一个大于3，

aaaaa 0aaa

所以1j12j23j3中至少有一数为0，从而1j12j23j34j45j5（任意j1,j2,j3,j4,j5），于是j1j2j3j4j5

4.计算行列式：

( 1)

(j1j2j3j4j5)

a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5

( 1)

(j1j2j3j4j5)

a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5 0

。

1

40 2 13122 4

1114124

1）

111； 2） 1111202

1 1152011 1； 3）0117；

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a2b23279

284c2

2

5 12525d4）；5）

4

64

16

(a 1)2

(b 1)2(c 1)2(d 1)2(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2

(a 3)2(b 3)2(c 3)2

(d 3)2。

解：（1） 40 ； （2） －16 ；（3） 0 ；（4）－1008 ；（5） 0 。

5.计算n阶行列式：

xy0 001230xy 001 1000x 0002 2 000 xy000y00 0x； 2）000 1）

1

a1111 a2 11

1

1 1 an

n 1n 00 00 2 n0

n 11 n；

3）

xy 0x x 00

（ai 0）； 4）

y000

xy00

n 1

( 1)y0x

xy

x

222

22 222 223 2 22 n

00 00

x

。

解：（1）原式=00 0

nn 1nx ( 1)y 。 =

00

y（按第一列展开）

n(n 1)

2321 1002 2 000000（2）行列式=

第一列展开）

n 1n

00

00 2 n0

n 11 n（后n 1列和加到第一列，再按

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n(n 1)

( 1)( 2) (1 n)

=2

(n 1)!( 1)n 1

2 。 =

100

11 a11

11 1

111

1 a2

01

（3）行列式=

为n 1级行列式）

1 an

（第一行第一列为添加的部分，注意此时

11 a1an

00 0

1a100

10

100

111 1a10 c1 a1c2

11

10a2 c1 a2c3

r2 r1r3 r1 1 c1 cn 1

100 aann

rn 1 r1

11

(1 )a1a2 an

a1an

= 。

a2 0

an

（4）行列式

2

122 2100 0101 0r2 r1r3 r1

00 n 2rn r11

2

01

1 ( 1)2 1

00=

2(n 2)! 。

2

0

n 2（按第二行展开）

提高题

1.已知n级排列j1j2 jn 1jn的逆序数为k，求排列jnjn 1 j2j1的逆序数。

解：设原排列j1j2 jn 1jn中1前面比1大的数的个数为k1，则1后面比1大的数的个数为(n 1) k1，于是新排列jnjn 1 j2j1中1前比1大的个数为(n 1) k1个；依此类推，原排列j1j2 jn 1jn中数i前面比i大的数的个数为ki，则新排列jnjn 1 j2j1中i前比i大的个数为(n i) ki个记 (j1j2 jn 1jn) k1 k2 kn 1 k，故新排列的逆序

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数为[(n 1) k1] [(n 2) k2] [(n (n 1) kn 1]2.由行列式定义计算

1 2 (n 1) k

n(n 1)

k2。

2xx11x1 f(x)

32x1

111x中x4与x3的系数，并说明理由。

解： 由于行列式定义中的每一项来自于不同行和不同列的n个元素的乘积。而该行

4

列式中每个元素最高含x的一次项，因此x的项只能由对角线上的元素乘积所得到

x4，故x4的系数为( 1)

(1234)

2＝2。

(2134)

3

同样的考虑可得x的系数为( 1)

＝－1。

3.设

1x1a1

P(x) 1a2

1an 1

x2a122a2 2an 1

xn 1a1n 1n 1a2 n 1an 1

，其中ai互不相同。

1）说明P(x)是一个n 1次多项式；

2）求P(x) 0的根。

n 1

P(x) A 1 A x A xP(x)11121n解：1) 把按第一行展开得：。

11

A1n

1

a1a2

a1n 2

n 2

a2

0

而 ，所以P(x)是一个n 1次多项式。 根据范德蒙行列式

P(x) (x a1)(x a2) (x an)(a1 a2) (a1 an)(a2 a3) (a2 an) (an 1 an) 2)

n 2

an 1 an 1

因为x ai （i 1,2, ,n 1）代入P(x)中有两行元素相同，所以行列式为

零，从而P(x) 0的根为a1,a2, ,an 1 。

习题二解答

1. 计算

a11 x3 a21

a 31

a12a22a32

a13 x1 a23 x2

a33 x3

x1

1）

x2

；

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0 10 A 10

10 ；求 A2、A3、A4。 2）已知

222ax (a a)xx (a a)xx ax (a a)xx ax122112133113222233223333 ； 解：1）111

0 0

00023 A A 100 0

100 ； 1 2）

11 311

B 2 1A 212

10 123

2. 设 1）， abc 1 1A cbaB

111 1 2），

a b c 22 2

200

a b c

4 4 2 3

解：1）

；2）

0

000 A4

000 00

000 ；0000 。 1 0 1 ，求 AB BA。

ac bb ca ，求 AB。 a2 b2 c2b2 2ac 2222 b 2aca b c a b ca b c

a21

a22 a2n

an1 an2 ann

。

3. 设A是n阶实方阵，且A A 0。证明A 0。

证明：设

a11 aA 21

an1

a12a22 an2

a1n a11

a a2n A 12

ann a1n

，则

。从而。

222 a11 a21 an 1 222

a a a1222n2

A A

0

222 a1n a2n ann

。因为

。所以

222222222

a11 a21 an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann 0

aij为实数，故

aij 0

（i,j 1,2, ,n）。即A 0 。

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a1 A

4 .设

为对角矩阵。

a2

an a1,a2, ,an

，互不相同。证明与A可交换的矩阵只能

证明：设与 …… 此处隐藏：2556字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……