线性代数习题及答案-华工版(2)

a11

aA 21

an1

a12a22 an2

11. 已知4阶方阵A的行列式

A 5

，求

A*

。

5

解：因为

AA AE，两边取行列式有

AA A

。所以

A* 54 625

。

A0 CB

可逆，并求逆。 12. 设A，B分别为m，n阶可逆方阵，证明分块矩阵

A0 A0

AB 0 CB A 0B 0CB B可逆，证明：因为 A，所以 。故 ，从而 A0 A0 X11X12

E CB CB XX22 的逆，则 21是 ，

X11 A 1AX11 E

X12 0AX 0 12

1 1X BCACX BX 0 A0 21 21 11

CB CX12 BX22 EX22 B 1 的逆为 于是 ，解得。故矩阵 X11

X

可逆。记 21

X12 X22

A 1

1 1 BCA

0 B 1 。

0A X

C0 ，其中A 1，C 1存在，求X 1。 13. 设

0C 1 0A 0C 1 0A

X E 1 1 C0C0A0A0 的逆为 。 解：因为 ，所以

14. 求下列矩阵的秩：

224114

1 1 302 1

32 1 3 121113 2 131 705 1 312 2 1 1 ； ；2） 1）

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3）

1aa2 21bb

1cc2 a3 b3 c3

。

解：1） 2 。2） 4 。3）当a b c时，秩为1；当a,b,c有某两个相等时，秩为2；当a,b,c互不相等时，秩为3 。

提高题

1. 秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和。

证明：设矩阵A的秩r，由推论1 结果可知：存在可逆矩阵P和Q使得

EPAQ r

0

0 1 Er

A P 0 ，即 0

0 10 Ir 1 I1

Q P[ 0 00 0

0 1

]Q0 ，其中Ik

（k 1,2, ,r）表示第k行k列元素为1、其余元素为0的r阶方阵。记

I0 1

Ak P 1[ k ]Q

00 （k 1,2, ,r），则Ak的秩为1，且A A1 Ak。

2. 设m n矩阵A的秩为1，证明：

a1

b1 bn a

A1）可表示成 m ； 2A kA (k是一个数)。 2）

a 0 b, ,bn ，证明：1）因为A的秩为1，所以存在某元素ij。记A的第i行元素为1

则A的任一行向量可由第i行线性表示（否则与i行向量线性无关，与A的秩为1矛

a1

A b1 bn a a, ,an m n依次为第1行、 、盾）。记1第行的表示系数，则有 。

a1

A b1 bn a m 2）由1），所以

a1 a1 a1

A2 [ b1 bn ][ b1 bn ] (b1a1 bnan) b1 bn

a a a m m m

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a1

k b1 bn a k b1a1 bnan） 。 m （其中

1 1 13. 设A是n阶方阵，X是n 1矩阵 ，证明：

1）AX的第i个元素等于A的第i行元素之和；

1

2）如果A可逆，且A的每一行元素之和等于常数a，则A的每一行元素之和

也相等。

证明：1）记

a11 aA 21

an1

a12a22 an2

a1n a11 a12 a1n

a a a a2n 2n AX 2122

ann a a an2nn n1，则。

a

a

AX aX

a 2）若A的每一行元素之和等于常数a，由1） ，由于A可

11

A 1X X

a，即A 1的每一行元素之和等于常数a 。 逆，所以a 0。从而

4. 证明：

1）上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；

2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。 证明：1）记

A aij

n n

，

B bjk

n n

为上三角矩阵，C AB 。则i j k时，

bjk 0。对任意s，当i s时，ais 0，当k i s时bsk 0，即任意s，

aisbsk 0。从而i k时，cik ai1b1j aisbsk ainbnk 0。故上三角矩阵的aij 0

，

乘积仍是上三角矩阵。同理可证明下三角矩阵的情形。

2）对可逆的上三角矩阵

a11 0A

0

a12a22 0

a1n a2n

ann aii 0i 1,2, ,n

，（），对

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于

a11a12

0a22 A E

0 0

a1na2n ann

10 0

01 0

00 1

，先进行第二类初等行变换

1ri

aii（i 1,2, ,n）

，再作第三类初等行变换把左边变成单位矩阵时，右边即为上

三角矩阵。亦即可逆的上三角矩阵的逆仍是上三角矩阵。 5. 已知实三阶方阵A满足：1）

aij Aij

3

A

；2）a33 1 。求 。

aij Aij

，从而有

AA AE，所以

解：因为

是

AA A

。由于

A A A

。于

A 0

或

A 1

。

若

A 0

，则AA AA 0，由于A为实三阶方阵，由习题3可得A 0。此

A 1

与a33 1矛盾。从而。

6. 设A E ，其中 是n 1非零矩阵。证明：

2

1）A A的充分必要条件是 1； 2）当 1时，A是不可逆矩阵。

证明：1）若A A，即有E ( 2) E 。又 是n 1非零矩阵，所以 是n n非零矩阵，从而 2 1，即 1。以上每步可逆，故命

2

题成立。

2

2）当 1时，由1），A A。若A可逆，则可得A 0，矛盾。故A是不可逆矩阵。

7. 设A，B分别是n m、m n矩阵，证明：

EmA

B

En AB Em BAEn

EmA

B

En ABEn

。

Em0 Em AEn A 证明：因为

B Em

En 0B

En AB

，所以；又

EmB Em0 AE AE

n n

8. A，B如上题，

EmBBAB Em

Em BA AE0Enn ，所以。从而命题成立。 n m

E AB Em BAn 0

。证明：

。

0 Em

1 Em

AEn A 证明：由于 0，可得

E

B m

En 0

En AB

，所以

B1

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Em

A

B En

Em

En

B1

AB

m n En AB

；

Em A又

B Em0 Em BAB Em

En AEn 0En A

，故

En AB n m Em BA

。

B

Em BAEn

。从而

习题三

1. 解下列线性方程组：

x1 3x2 5x3 4x4 1 x1 2x2 3x3 x4 3

x x x 3

x1 3x2 2x3 2x4 x5 1234 x 3x x 1124 x1 2x2 x3 x4 x5 3 7x2 3x3 x4 3x 4x2 x3 x4 x5 3 1） ；2） 1 ； x1 2x2 3x3 4x4 4

3x1 2x2 2x3 x4 3

x1 3x2 x3 3x4 1 6x2 7x3 13x4 103） 。

1

x x5 1

2

1 x 1 x5 x 20 12

2 x 4

2 x3 0 x 83 x 1 1x

45 x4 7 2 解：1）解为： ； 2）解为： （x5为自由未知数）；

3）无解 。

2. 讨论 ，a，b取什么值时，下列方程组有解。

1）

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