中考数学压轴题归类复习（十大类型附详细解答）(4)

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面积与相似：（2012苏州，29）如图，已知抛物线??=??2? ??+1 ??+ ??是实数且??>2 与

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x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C. ⑴点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）；

⑵请探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； ⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

yPCx

OAB12

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龚恒雷

四、三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等） 例4．（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点OA不重合），现将△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直线PE、PF重合．

（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；

（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP＝x，AD＝y，当x为何值时，y取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

y y E B B C C

F

E F F D D

O 图① P A x O P 图② A x 13

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变式．（广东省深圳市）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式． （2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标． ．．．．②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．

y y

C P

E A B A B x

O D x

图2

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龚恒雷

苏州中考题：（2013年●29题）如图，已知抛物线y＝

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x＋bx＋c（b，c是常数，且c<0）2与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)．

(1)b＝ ，点B的横坐标为 （上述结果均用含c的代数式表示）； (2)连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y＝

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x＋bx＋c交于点E．点D是x轴上2一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有 个．