中考数学压轴题归类复习（十大类型附详细解答）(14)

2

，

当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．

连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，则△ADO≌△PDO， ∴DO⊥AP，AG=PG，∴AP=2AG，又∵DA=2AO，∠ADG=∠GAO， ∴

=

=，∴AG=2OG，设AG为2x，OG为x，∴（2x）+x=4，∴x=

，∴AP=

∴当PA的长度等于2

或

2

2

∴AG=2x=时，△PAD是等腰三角形；

.

（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC， ∵P点坐标为（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，在△PAD，△PAB及△PBC中，

22

S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴PE=AE?BE，即b=a（4﹣a），

2222

∴2S1S3﹣S2=4a（8﹣2a）﹣4b=﹣4a+16a=﹣4（a﹣2）+16，

2

∴当a=2时，b=2，2S1S3﹣S2有最大值16．

【点评】此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想的应用．

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龚恒雷

苏州中考题：【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出OC，从而求出a．（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形． （3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．

【解答】解：（1）令y=0，由a（x﹣6x+8）=0，解得x1=2，x2=4；令x=0，解得y=8a， ∴点 A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），该抛物线对称轴为直线x=3， ∴OA=2，如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1，由题意得：O′A=OA=2， ∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°，∴∠OAC=∠O′AC=60°，∴OC=2

，即8a=2

，∴a=

；

2

（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立， ①如图②，设P是边EF上的任意一点，连接PM， ∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，∴PB＜4，PC≥4， ∴PC＞PB，又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD， ∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形， ②设P是边FG上的任意一点（不与点G重合）， ∵点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），∴FB=3，GB=，∴3≤PB， ∵PC≥4，∴PC＞PB，又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD， ∴此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形；

（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形， 如图③，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，∴PA=PB， ∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形， ∵点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，﹣a），点P的坐标是（3，t）， ∴PC=3+（t﹣8a），PD=（t+a），由PC=PD得PC=PD，∴3+（t﹣8a）=（t+a）， 整理得：7a﹣2ta+1=0有两个不相等的实数根，∴a=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=，

∴a=或a=，∵t＞3，∴显然a=或a=，

满足题意，∴当t是一个大于3的常数时，存在两个正数a=使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．

或a=，

【点评】本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．

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龚恒雷

例6. 【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．

2

【解答】解：（1）∵对称轴为直线x=2，∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）+k． 将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：

，解得

，∴y=﹣（x﹣2）+9=﹣x+4x+5．

2

2

2

（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．设P（x，﹣x+4x+5），

22

如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x+4x+5，∴MN=ON﹣OM=﹣x+4x+4．

S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME=（PN+OF）?ON﹣PN?MN﹣OM?OE =（x+2）（﹣x+4x+5）﹣x?（﹣x+4x+4）﹣×1×1=﹣x+x+=﹣（x﹣）+∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为此时点P坐标为（，

）．

，把x=时，y=﹣（﹣2）+9=

2

2

2

2

2

．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3．

2

令y=﹣x+4x+5=3，解得x=2±．∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．

四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）； 作点M1关于x轴的对称点M2，则M（﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM221，

最小．设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：

，解得：m=

，n=﹣

，∴y=

x﹣

．

当y=0时，解得x=∴a=

．∴F（，0）．∵a+1=，∴a=．

时，四边形PMEF周长最小．

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