2010届高考数学难点突破训练(4)

5. (Ⅰ)欲使数列{an}是一个常数数列，则an+1= 又依a1>0，可得an>0并解出：an= (Ⅱ)研究an+1－an=

3?an23?an2= an

3232，即a1 = an =

(n≥2)

－3?an?12=

an?an?1?2???3?an2?3?an?1???2?注意到2????3?an2?3?an?1???2?>0

因此，可以得出：an+1－an，an－an－1，an－1－an－2，?，a2－a1有相同的符号7’ 要使an+1>an对任意自然数都成立,只须a2－a1>0即可. 由

3?a12?a1>0，解得：0

32

(Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法，可得 当a1>

32时，an+1

因此当a1=2时，an+1－an<0 ∴ Sn= b1+b2+?bn

=|a2－a1| + |a3－a2| +?+ |an+1－an| =a1－a2＋a2－a3＋?＋an－an+1 =a1－an+1=2－an+1 又：an+2=

故Sn<2－6. （1）令1?1x3?an?12< an+1，可解得an+1>

32,

32=

12

1t?1?t，由x>0，∴t>1，x?1t?lnt?t?1

原不等式等价于1?令f(t)=t-1-lnt， ∵f?(t)?1?1t当t?(1,??)时，有f?(t)?0，∴函数f(t)在t?(1,??)递增

即t-1

1t∴f(t)>f(1) 另令g(t)?lnt?1?，则有g?(t)?t?1t2?0

∴g(t)在(1,??)上递增，∴g(t)>g(1)=0 ∴lnt?1?综上得

1x?11t

?lnx?1x21?1x

（2）由（1）令x=1,2,??(n-1)并相加得

12?13???1n?ln?ln32???lnnn?1?1?12???1n?1

即得

12?13???1n?ln?1?12???1n?1

7. (1)易求得an?p （2）f(n)?1?Cn?a1?Cn?a2???Cn?an2?Snn12nn?1?p2?(1?p2)?n11?pn

作差比较易得：f(n?1)?p?12pf(n)

（3）当n?1时，不等式组显然成立.

当n?2时，先证f(1)?f(2)???f(2n?1)?p?1?p?12n?1?1?()?? p?1?p?1?由（2）知f(n?1)?p?1p?1p?12pf(n)?(p?1p?1)f(n?1)???(2p?1p?1)f(1)

n?()n?1?f(n)?(p?12p)(n?2)

n2n?1??i?1f(i)?p?12p?(p?12p)???(2p?12p)2n?1?p?12p1?(p?12p)2n?11?p?12p?p?1?p?12n?1?1?()??p?1?2p? 再证f(1)?f(2)???f(2n?1)?(2n?1)f(n)

1?p1?pn()p22nn2?f(1)?f(2n?1)?2f(1)?f(2n?1)?211?(p2n?1?p)?p2n

而1?(p2n?1?p)?p2n?1?2p2n?1?p?p?(1?p)

?f(1)?f(2n?1)?21?pp1?p2f(1)?f(2n?1)?211?pp1?p1?pn()p2)n1(1?p)n2

?2?()?n1?pn?2()(1?p211?pn?2f(n)同理：f(2)?f(2n?2)?2f(n)，f(3)?f(2n?1)?f(1)?2f(n)

f(2n?3)?2f(n)，??，

以上各式相加得：2?f(1)?f(2)???f(2n?1)??2(2n?1)f(n)

2n?1即 ?f(i)?(2n?1)f(n).

i?18. （1）a2?a6?a3?a5?10，又?a2?a6?21

?a2?3?a2?7 ?? 或 ?

a?7a?3?6?6 若??a2?7?a6?3，则an?9?n，a10??1与an?0矛盾；

?a2?3 若?，则an?n?1，显然an?0，

a?7?6 ?an?n?1 （2）lgb1?S1?2lg3,?b1?9，

?9??lg9????10?n?1 当n?2时，lgbn?Sn?Sn?1?9?，欧?bn?9????10??n?1

?9? ?n?1时，bn?9?b1，?bn?9????10?n?1,n?N

?bn?1bn?910

910 ?数列是以9为首项，

?9?（3）cn?9?n?1????10?n?1为公比的等比数列。

，设ck?k?2?是数列?cn?中的最大项，则

?ck?ck?1 由? 可得8?k?9

c?ck?1?k?9??数列?cn?有最大项，最大项是c8?c9?81???。

10??79. （1）由(3?m)sn?2man?m?3得(3?m)sn?1?2man?1?m?3,

两式相减得(3?m)an?1?2man,m??3, an?1an2mm?3??,

∴?an?是等比数列。（2）b1?a1?1,q?f(m)?3232bn?12mm?3

,?n?Nn?2

?bn?f(bn?1)?2bn?1?3??bnbn?1?3bn?3bn?1?1bn?1bn?1?13.?1???bn?1bn?1是1为首项为公比的等差数列?3??1?3n?2n?13.?n?23,?bn?

14 （Ⅰ）经计算a3?3，a4?，a5?5，a6?18．

10.

当n为奇数时，an?2?an?2，即数列{an}的奇数项成等差数列，

?a2n?1?a1?(n?1)?2?2n?1；

当n为偶数，an?2?1n?1?a2n?a2?()2121n?()． 2an，即数列{an}的偶数项成等比数列，