2010届高考数学难点突破训练

2010届高考数学难点突破训练

——数列与数学归纳法

1.如图，曲线y2?x(y?0)上的点Pi与x轴的正半轴上的点Qi及原点O构成一系列正三角形△OP1Q1，△Q1P2Q2，?△Qn-1PnQn?设正三角形Qn?1PnQn的边长为an,n∈N﹡(记Q0为O),Qn?Sn,0?.（1）求a1的值; （2）求数列{an}的通项公式an。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2. 设?an?,?bn?都是各项为正数的数列，对任意的正整数n，都有an,bn,an?1成等差数列，

2bn,an?1,bn?1成等比数列．

22（1）试问?bn?是否成等差数列？为什么？ （2）如果a1?1,b1?

3. 已知等差数列｛an｝中，a2＝8，S6＝66.

?1?2，求数列??的前n项和Sn．

?an?

（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式； （Ⅱ）设bn?

www.ks5u.com 4. 已知数列{an}中a1?352(n?1)an，Tn?b1?b2???bn，求证：Tn?16.

，an?2?1an?1（n≥2，n?N），数列{bn}，满足bn??1an?1（n?N）

（1）求证数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记Sn?b1?b2???bn，求nlim??

5. 已知数列{an}中，a1>0, 且an+1=

3?an2?(n?1)bnSn?1．

，

(Ⅰ)试求a1的值，使得数列{an}是一个常数数列；

(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立；

(Ⅲ)若a1 = 2，设bn = | an+1－an| (n = 1，2，3，?)，并以Sn表示数列{bn}的前n项的

和，求证：Sn<

6. （1）已知：x?(0??)，求证

1x?1xx11111（2）已知：n?N且n?2，求证：?????lnn?1????。

23n2n?1?lnx?1?152．

；

7. 已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N(1?p)?Sn?p?pan12?，都有并

记

（p为

n大于1的常数），

f(n)?1?Cn?a1?Cn?a2???Cn?an2?Snn.

（1）求an； （2）比较f(n?1)与

p?12p?f(n)的大小n?N；

2n?1?2n?1（3）求证：(2n?1)?f(n)?

?i?1p?1?f(i)???1?p?1???p?1??????p?1????(n?N). ??8. 已知n?N，各项为正的等差数列?an?满足

?

a2?a6?21,a3?a5?10，又数列?lgbn?的前n项和是 Sn?n?n?1?lg3?12n?n?1?。

（1）求数列?an?的通项公式； （2）求证数列?bn?是等比数列；

（3）设cn?anbn，试问数列?cn?有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。

9. 设数列?an?前项和为sn,且(3?m)sn?2man?m?3(n?N?),,其中m为常数,m?3. (1) 求证:是等比数列;

若数列?an?的公比q=f(m),数列?bn?满足b1?a1,bn?为等差数列,求bn.

10. 已知数列{an}满足：a1?1,a2?n?N．

*?1??f(bn?1)(n?N,n?2),求证:??2?bn?312,且[3?(?1)]an?2?2an?2[(?1)?1]?0，

nn

（Ⅰ）求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?a2n?1?a2n，求数列{bn}的前n项和Sn；

11. 将等差数列{an}所有项依次排列，并作如下分组：(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6,a7),?第一组1项，第二组2项，第三组4项，?，第n组2T3??48,T4?0。

n?1项。记Tn为第n组中各项的和。已知

（1）求数列{an}的通项； （2）求{Tn}的通项公式；

（3）设{Tn}的前n项的和为Sn，求S8。

12. 设各项为正数的等比数列?an?的首项a1?21012，前n项和为Sn，且

S30?(210?1)S20?S10?0。

（Ⅰ）求?an?的通项；