2019高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线练习(4)

所以，椭圆的方程为＋＝1.

94

(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2). 由已知有y1>y2>0， 故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2.

x2y2

y2π

又因为|AQ|＝，而∠OAB＝，

sin∠OAB4

故|AQ|＝2y2.

|AQ|52

由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2. |PQ|4

?y＝kx，

?6k由方程组?x2y2消去x，可得y1＝. 2＋＝1，9k＋4??94

易知直线AB的方程为x＋y－2＝0， 由方程组?

??y＝kx，

2k消去x，可得y2＝.

k＋1??x＋y－2＝0，

2代入5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝39k＋4， 将等式两边平方，整理得56k－50k＋11＝0， 111

解得k＝或k＝.

228111

所以，k的值为或. 228

1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax＋By＝1，其中A，B是不等的常数，A＞B＞0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B＞A＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB＜0时表示双曲线. 2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.

3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a，c，计算e＝；法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求. 4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导. 5.求中点弦的直线方程的常用方法

(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作

11

2

2

2

caca差，式中含有x1＋x2，y1＋y2，y1－y2

三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直x1－x2

线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.

一、选择题

y2x2

1.(2018·合肥调研)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线2x－y＋1＝0

ab垂直，则双曲线C的离心率为( ) A.2

B.2 C.3

2

D.5

2

解析 依题意，2·?－?＝－1，∴b＝2a.则e＝1＋??＝5，∴e＝5. 答案 D

2.(2018·南昌质检)已知抛物线C：x＝4y，过抛物线C上两点A，B分别作抛物线的两条切→→

线PA，PB，P为两切线的交点，O为坐标原点，若PA·PB＝0，则直线OA与OB的斜率之积为( ) 1A.－

4

2

2

?a??b??b??a?

B.－3

2

1C.－ 8

D.－4

xA??xB?xxAxB→→?2

解析 设A?xA，?，B?xB，?，由x＝4y，得y′＝.所以kAP＝，kBP＝，由PA·PB＝0，

4??4?222?x2x2xAxB1AB得PA⊥PB.∴·＝－1，则xA·xB＝－4，又kOA·kOB＝·＝＝－.

224xA4xB164

xAxB答案 A

3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴

3垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( ) 1A. 3

2

2

2

2

y2

1B. 22C. 33D. 2

解析 由c＝a＋b＝4得c＝2，所以F(2，0)， 将x＝2代入x－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.

3又A的坐标是(1，3)，

13

故△APF的面积为×3×(2－1)＝. 22答案 D

12

2

y2

x2y2

4.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为椭圆上一

abπ

点，∠F1AF2＝，连接AF2交y轴于M点，若3|OM|＝|OF2|，则该椭圆的离心率为( )

21A. 3

B.3 3

5C. 8

D.

10 4

解析 设|AF1|＝m，|AF2|＝n. 如图所示，由题意可得 ∵Rt△F1AF2∽Rt△MOF2.

|AF1||OM|1∴＝＝，则n＝3m.又|AF1|＋|AF2|＝m＋n＝2a， |AF2||OF2|3

a3∴m＝，n＝a.

22

1022222

在Rt△F1AF2中，m＋n＝4c，即a＝4c，

4

c21010∴e＝2＝，故e＝.

a164

2

答案 D

x2y2

5.(2018·石家庄调研)已知F1，F2分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双

ab曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( ) A.－＝1 42C.－＝1 48

x2y2x2y2

B.－＝1 32D.x－＝1

2

2

x2y2

y2

解析 如图，不妨设点P(x0，y0)在第一象限，则PF2⊥x轴， 在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c， 23c43c则|PF2|＝，|PF1|＝，

33

23c又因为|PF1|－|PF2|＝＝2a，即c＝3a.

3又2b＝22，知b＝2，

且c－a＝2，从而得a＝1，c＝3. 故双曲线的标准方程为x－＝1.

2答案 D 二、填空题

6.(2018·北京卷)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴.若l被抛物线y＝4ax截得的线段

2

2

2

2

2

2

y2

13

长为4，则抛物线的焦点坐标为________.

解析 由题意知，a>0，对于y＝4ax，当x＝1时，y＝±2a，由于l被抛物线y＝4ax截得的线段长为4，所以4a＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0). 答案 (1，0)

2

2

x2y2

7.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，

ab0)到一条渐近线的距离为

3

c，则其离心率的值是________. 2

解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，

|bc|

33

c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a， 24

ba所以

a2＋b2

＝b＝

所以双曲线的离心率e＝＝2. 答案 2

8.设抛物线x＝4y的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足|AF|＝2；已知P为抛物线准线上任一点，当|PA|＋|PF|取得最小值时，△PAF的外接圆半径为________. 解析 由x＝4y，知p＝2，∴焦点F(0，1)，准线y＝－1. 依题意，设A(x0，y0)(x0>0)，

由定义，得|AF|＝y0＋，则y0＝2－1＝1，∴AF⊥y轴.

2

易知当P(1，－1)时，|PA|＋|PF|最小，∴|PF|＝1＋（－1－1）＝5. |PF|55

由正弦定理，2R＝＝＝，

sin A22

5

5

因此△PAF的外接圆半径R＝. 45答案

4三、解答题

9.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8. (1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.

解 (1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0).

2

2

2

2

2

cap 14

设A(x1，y1)，B(x2，y2).

??y＝k（x－1），2222由?2得kx－(2k＋4)x＋k＝0. ?y＝4x?

2k＋4Δ＝16k＋16>0，故x1＋x2＝2.

2

2

k4k＋4

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝2.

2

k4k＋4

由题设知2＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.

2

k因此l的方程为y＝x－1.

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

y0＝－x0＋5，??2

?（y0－x0＋1）2

（x0＋1）＝＋16.?2?

??x0＝3，??x0＝11，解得?或?

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