2019高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线练习(3)

p2t直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t).

2tp代入y＝2px得y－4ty＋4t＝0，

2

2

2

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解得y1＝y2＝2t，

即直线MH与C只有一个公共点，

所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.

探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N，H的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH的方程与曲线C联立，根据方程组的解的个数进行判断.

2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧. 【训练3】 (2018·潍坊三模)已知M为圆O：x＋y＝1上一动点，过点M作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA延长至点P，使得|PA|＝2，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程；

(2)直线l：y＝kx＋m与圆O相切，且与曲线C交于D，E两点，直线l1平行于l且与曲线C相切于点Q(O，Q位于l两侧)，

2

2

S△ODE2

＝，求k的值. S△QDE3

2

2

解 (1)设P(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，则M(x0，y0)且x0＋y0＝1， 由题意知OAMB为矩形，∴|AB|＝|OM|＝1， →→

∴AP＝2BA，即(x－x0，y)＝2(x0，－y0)， －yxy∴x0＝，y0＝，则＋＝1，

3294故曲线C的方程为＋＝1.

94

(2)设l1：y＝kx＋n，∵l与圆O相切， ∴圆心O到l的距离d1＝∵l1与l距离d2＝

|m－n|

2x22

x2y2

|m|

2

＝1，得m＝k＋1，① k＋1

22

，② k＋1

1

|DE|·d1

S△ODE2d1|m|2∵＝＝＝＝， S△QDE1d2|m－n|3

|DE|·d222

∴m＝－2n或m＝n，

5

2

又O，Q位于l两侧，∴m＝n，③

5

8

xy??＋＝1，联立?94消去y整理得

??y＝kx＋n，

(9k＋4)x＋18knx＋9n－36＝0， 由Δ＝0，得n＝9k＋4，④ 311由①③④得k＝±.

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考法2 有关弦的中点、弦长问题

【例3－2】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，

43线段AB的中点为M(1，m)(m>0). 1

(1)证明：k<－；

2

→→→→→→

(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差.

(1)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＋＝1，＋＝1. 4343两式相减，并由由题设知

2

2

2

2

2

22

x2y2

x2y211x2y222

y1－y2x1＋x2y1＋y2

＝k得＋·k＝0. x1－x243

y1＋y2

2

3

＝m，于是k＝－.①

4mx1＋x2

2

＝1，

由于点M(1，m)(m>0)在椭圆＋＝1内，

431m31∴＋<1，解得0

则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0). 由(1)及题设得

2

x2y2

x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.

3又点P在C上，所以m＝，

43?→3?从而P?1，－?，|FP|＝. 2?2?→22

于是|FA|＝（x1－1）＋y1＝

x1?x1?（x1－1）＋3?1－?＝2－. 2?4?

2

2

x2→

同理|FB|＝2－.

2

9

1→→

所以|FA|＋|FB|＝4－(x1＋x2)＝3.

2→→→故2|FP|＝|FA|＋|FB|， →→→

即|FA|，|FP|，|FB|成等差数列. 设该数列的公差为d，则 1→→

2|d|＝||FB|－|FA||＝|x1－x2|

212

＝（x1＋x2）－4x1x2.② 23

将m＝代入①得k＝－1.

4

712

所以l的方程为y＝－x＋，代入C的方程，并整理得7x－14x＋＝0.

441321

故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝. 2828321321

所以该数列的公差为或－. 2828

探究提高 1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB|＝1＋k2|x2－x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算.

2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.

x2y2

【训练4】 (2018·天津卷)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆

ab的离心率为

5

，点A的坐标为(b，0)，且|FB|·|AB|＝62. 3

(1)求椭圆的方程；

|AQ|

(2)设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若＝

|PQ|52

sin∠AOQ(O为原点)，求k的值. 4

c25

解 (1)设椭圆的焦距为2c，由已知有2＝，

a9

又由a＝b＋c，可得2a＝3b. 由已知可得，|FB|＝a，|AB|＝2b， 由|FB|·|AB|＝62， 可得ab＝6，从而a＝3，b＝2.

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2

2

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