高考专题动量和机械能综合（上）(2)

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说明 运用动量守恒定律解题时，物体系中各物体的速度均以地面为参照系，所以，炮弹出口时的速度大小应为vcosα-v′，这是解题的关键。

例6 质量为M的小孩靠在墙上尽力将一个质量为m的铅球平推出去，球的水平射程为s0，如果他穿着冰鞋站在光滑的冰面上尽力将此球平推出去，这次球对投掷点的水平射程s1是多少？球落地时，球和小孩的水平距离s2是多少（可认为小孩两次掷球时做的功是一样的）？

解析 （1）人推球时做多少功，就会有多少生物能转化为机械能。第一次，人不动，这些机械能完全由球获得，设球获得的速度为v0，第二次，因人和球这一系统在水平方向不受外力而动量守恒，球向前飞行时，人应后退，设此时球的初速为v，人后退速度为v2,两次人做功相同。

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mv0=mv+Mv2 222 ①

第二次抛球过程中，球和人总动量守恒，则 mv-Mv2=0 ② 联立式①、②解得v=

MV0 M?m（2）人的高度一定，球做平抛运动落地时间一定，球对投掷点的水平射程S∝v，所以 s1=

MS0 M?m ③

由②式可得 v2=

mMMV0 M?m ④

球落地过程中，人后退的距离 s′=

mMMS0 M?m ⑤

所以，球落地时，球和人的水平距离 s2=s1+s′ =

⑥

mMS0+M?mMMM?mS0=S0 M?mM说明 对有些问题中间过程较复杂，如用动量守恒和能的转化守恒来计算可以避开中间

过程而使计算简化。

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例7 质量为m的钢板与直立轻簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图2-6-7所示。一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点。若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与O的点的距离。

解析 本题为1997年全国高考压轴题 物块与钢板碰撞时的速度v0=6gx0

①

设v1表示质量为m的物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度，因碰撞时间极短，动量守恒，mv0=2mv1 ②

刚碰完时弹簧的弹性势能为EP。当它们一起回到O点时，弹簧无形变，弹性势能为零。根据题给条件，这时物块与钢板的速度为零，由机械能守恒

EP+

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（2m）v1=2mgx0 2 ③

设v2表示质量为2m的物块与钢板碰撞后开始一起向下运动的速度，则有 2mv0=3mv2 ④

刚碰完时弹簧的弹性势能为EP′，它们回到O点时，弹性势能为零，但它们仍继续向上运动，设此时速度为v，则有

EP′+

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（3m）v2=3mgx0+(3m)v 22 ⑤

在以上两种情况中，弹簧的初始压缩量都是x0,

故有EP′=EP ⑥

当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力作用，加速度为g。一过O点，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g。由于物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板的拉力，其加速度仍为g。故在O点物块与钢块分离，分离后，物块以速度v竖直上抛，则由以上各式解得，物块向上运动所到最高点与O点的距离为