GCT数学 微积分（讲义）(6)

dg(x)g(x) d[?a。 f(t)dt]?f[g(x)]dxdxdsinx例13．4．1（1）求?ln(2?t)dt

dx0（2） 设F(x)??（3）F(x)??例13．4．2 （1）（2）（3）

x21x2f(t)dt，求F?(x)。答?2xf(x2)

1etxdt，求F?(x)。答2xt2?x212etdt?2xex tdsinxln(2?t)dt dx?exdsinxxln(2?t)dt ?0dxdsinxxln(2?x)dx ?0dxdsinx（4）?ln(2?t)dt

dt03 .牛顿—莱布尼兹公式

定理 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)为f(x)的一个原函数，即

bF?(x)?f(x)，则 ?af(x)dx?F(x)a?F(b)?F(a)

b

?例13．4．3计算?2??24cosx?cos3xdx 答

31100例13．4．4 设f(x)?x2?ex?f(x)dx，求?f(x)dx和f(x)。

二 变量替换法

设函数f(x)在[a,b]上连续，函数?(t)满足下列条件

(1) 函数?(t)在区间[?,?]上有连续的导数??(t)；

(2) ?(?)?a，?(?)?b，且当t在区间[?,?]上变化时，关系式x??(t)所确定的x的值不越出[a,b]的范围，若越出，但f(x)在大的区间上仍连续，则有下式成立

b? ?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt

注意：此公式也可以从右边向左边进行，这就是凑微分的方法。 例13．4．5 ?1dx （4?2ln3）

01?x4三 分部积分法

设函数u(x)与v(x)在区间[a,b]上具有连续的导数u?(x)与v?(x)，则有

bb ?au(x)v?(x)dx?u(x)v(x)a??av(x)u?(x)dx

ln321例13．4．6 （1）?xe?xdx （?ln3）

033be1（2）?1ln2xdx [2(1?)]

ee13.5 定积分的应用，平面图形的面积

由直线x?a,x?b曲线y?f(x),y?g(x)所围图形的面积为

S??f(x)?g(x)dx

ab5） 239例13．5．2求曲线x?2y?y2,x?y?0所围图形的面积。答A??(3y?y2)dy?

02例13．5．1 求由曲线y?2?x2，x?y,y??x,所围图形y?0部分面积。（

例13．5．3求曲线y?lnx,(2?x?6)上的一条切线，使该切线与直线x?2,x?61及x轴所围成平面图形面积最小。（y?ln4?(x?4)）

4例13．5．4补充题

1已知f(x)连续且满足?f(t)dt?x?x?x?f(x)dx，求f(x)。（4x3?2x?1）。

4200x1??）2 设f(x)，g(x)在[0，上连续，f(x)?0， g(x)单调增加，则

??(x)?x0f(t)g(t)dtx0???）在[0，上单调增加。

f(t)dt?1?3（07）若函数f(x)??x3??a?3x0(e?t?1)dt,2x?0x?0在x?0点连续，则a?[（A）]。

（A）?9 （B） ?3 （C） 0 （D） 1

?sin2(ex?1)?ex?1,x?0?4设f(x)??3,x?0求limf(x)并讨论f(x)在点x?0处的连续性。

x?0?12x2?x?0costdt,x?0?（limf(x)?2?f(0)?3，f(x)在点x?0处不连续）

x?05下列积分中，积分值等于零的是[(C) ]

(A) ?x7sin9xdx (B)?11?1?1xln(x?x2?1)dx

2???(C) ?2???cosxdx (D) ?x05sin5xdx

6（03）设f(x)??t2(t?1)dt，则f(x)的极值点的个数是[(B)]

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

7（03）甲、乙 两人百米赛跑成绩一样，那麽[(C)]

(A) 甲、乙 两人每时刻的瞬时速度必定一样 (B) 甲、乙 两人每时刻的瞬时速度必定不一样 (C)甲、乙 两人至少某时刻的瞬时速度一样 (D)甲、乙 两人到达终点的瞬时速度必定一样 8（03）设I??sin(cosx)dx则[(D) ]

0?(A) I?1 (B) I?0 (C) 0?I?1 (D) I?0 9（04） f(x)为连续函数，且?f(xsinx)sinxdx?1，

0?则?f(xsinx)xcosxdx?[(C)]

0? (A) 0 (B) 1 (C) ?1 (D) ?

10（05）设连续函数y?f(x)在[0,a]内严格单调递增，且f(0)?0,f(a)?a，若

g(x)是f(x)的反函数，则?[f(x)?g(x)]dx? (B)

0a(A) f2(a)?g2(a) (B) f2(a) (C) 2?f(x)dx (D) 2?g(x)dx

00aa

yyy?g(x)y?xy?f(x)?aa0g(x)dxx?0f(x)dxoaxoa11（06）设a?0，则在[0，a]上方程?x04a2?t2dt??x14a?t22adt?0根的个数

为[（B）]

（A） 0 （B） 1 （C） 2 ( D) 3

yy?g(x)1y?f(x)12（06）如左图所示，函数f(x)是以2为周期的 连续周期函数，它在[0，2]上的图形为分段直线，

?1312xg(x)是线性函数，则?f(g(x))dx?[（B）]

02123 （A） （B）1 （C） （D）

23213（08）当x?0时，函数f(x)可导，有非负的反函数g(x)，且恒等式

?f(x)1g(t)dt?x2?1成立，则函数f(x)=[（B）]．

（A）2x?1 （B）2x?1 （C）x2?1 （D）x2 14．（08）若e?x是f(x)的一个原函数，则?211f(lnx)dx?[（Ａ）]。 2x1（A）? （ B）-1

41（C） （D）1

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