GCT数学 微积分（讲义）(5)

9（06）如左图，曲线P?f(t)表示某工厂十年期间的产值变化情况，设f(t)是可导函数，

从图形上可以看出该厂产值的增长速度是[（ A）]

A. 前两年越来越慢，后五年越来越快

B．前两年越来越快，后五年越来越慢

第13章 一元函数的积分学

13.1不定积分的概念和简单的计算 一． 原函数、不定积分的概念

1定义 对于定义在某个区间I上的函数f(x),若存在函数F(x)，对于该区间I上的一切x都有F'(x)?f(x)成立，则称此F(x)为f(x)的原函数。若

F(x)为f(x)的一个原函数，则F(x)?C（C是任意常数） 是f(x)的全体原函数，

称之为f(x)的不定积分，记作?f(x)dx， 即 ?f(x)dx?F(x)?C 称x为积分变量，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式。 2 ?设F?(x)?f(x)

f(x)为可积的奇函数，则F(x)是偶函数 f(x)为可积的偶函数，但F(x)不一定是奇函数 f(x)为可积的周期函数，但F(x)不一定是周期函数 二. 不定积分基本计算公式

（1）?x?dx?1x??1?C (???1)

??1 （2）?1dx?lnx?C

x （3）?exdx?ex?C

（4）?axdx?1ax?C (a?0,a?1)

lna （5）?sinxdx??cosx?C （6）?cosxdx?sinx?C （7）?dx?sec2xdx?tanx?C

?cos2x2 （8）?dx?cscxdx??cotx?C ?2sinx三 不定积分的性质

（1）f(x)dx??f(x)

???（2）d?f(x)dx?f(x)dx (3) ?F?(x)dx?F(x)?C (4) ?dF(x)?F(x)?C

(5) ?kf(x)dx?k?f(x)dx (k为不等于零的常数) (6) ?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx 例13．1．1

lnx的一个原函数，求dF(sinx)。 x11（2） ?d(lnx?x3)?lnx?x3?C

22cos2x（3）?dx?cosx?sinx?C

sinx?cosxsinx（4）已知f(x)的一个原函数为，求?f(x)f?(x)dx。

1?xsinx（1）已知F(x)是

1cosx?sin2x2（ []?C）

2(1?xsinx)22x?1?5x?1dx例13．1．2求 ?10x[11x21x()?()?C] 5ln22ln55 13.2 不定积分的计算方法

1． 第一类换元法（凑微分法）

设F(u)是f(u)的原函数，且u??(x) 可导，则F[?(x)]是f[?(x)]??(x)的原函数，即?f[?(x)]??(x)dx=?f(u)du=F(u)?C =F[?(x)]+C （其中u??(x)） 例13．2．1

（1）?cos(2x?)dx

4（2）?（3）??1?(sin(2x?)?C) 24x1?C） dx （ln1?xx(1?x)1x?a1ln?C） （ dx222ax?ax?a例13．2．2

x1（1） ? （dxln(1?2x2)?C） 241?2x(2) ?exxdx （2ex?C）

3（3) ?x232?xdx （?例13．2．3 (1) ?332?x3ln3?C）

1dx （ln1?2lnx?C）

x(1?2lnx)2exdx （ln(1?ex)?C） (2) ?x1?e(3) ?1xx?ln(1?e)?C） （dxx1?ex2f(x?1)?ln2且f??(x)??lnx，求

x?22例13．2．4设

??(x)dx。答?(x)?x?1 x?1??(t)?0且?(t)是f[?(t)]??(t)的原函数，2．第二类换元法 设x??(t)单调可导，则

?(t)??(??1(x))是f(x)的原函数，即

?1?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt??(t)?C??(?(x))?C

例13．2．5求?3．分部积分法 设

xdx 1?xu(x),v(x)有连续的一阶导数,则

?u(x)v?(x)dx?u(x)v(x)??v(x)u?(x)dx 即 ?u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x) 例13．2．6 求不定积分

（1）?xe1?x21x?x???12dx （?2?xe?2e2??C）

??1?1?（2）?xsin2xdx （??xcos2x?sin2x??C）

2?2?（3）?lnxdx （xlnx?x?C） （4）?exdx （2ex[x?1]?C） （5）?exsinxdx 例13．2．7补充题

1（05）设x2lnx是f(x)的一个原函数，则不定积分?xf?(x)dx?[ (C) ]

21(A) x3lnx?x3?C (B) 2x?x2lnx?C

39(C) x2lnx?x2?C (D) 3x2lnx?x2?C

2（07）设函数f(x)可导，且f(0)?1，f?(?lnx)?x，则f(1)?[（A）]。 （A）2?e?1 （B） 1?e?1 （C） 1?e?1 （D） e?1

13.3定积分的概念与性质

一.定积分的概念

设函数f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干分点 a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b 把区间[a,b]分成n个小区

[x0,x1],[x1,x2],?[xn?1,xn]，各个小区间的长度依次为

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,??xn?xn?xn?1，在每个小区间[xi?1,xi]上任意取一点

n?i(xi?1??i?xi)作函数值f(?i)与小区间长度?xi的乘积f(?i)?xi (i?1,2,?n)，并作和 S??f(?i)?xi，记??max{?x1,?x2,?,?xn}，如果不论对[a,b]怎样分

i?1法，也不论在小区间[xi?1,xi]上点?i怎样取法,只要当??0时，和S总趋向于确定的极限I,这时，称极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作

b?afb 即?a(x)dx ，

f(x)dx?I=lim?f(?i)?xi 其中f(x)叫作被积函数，f(x)dx叫

??0i?1n做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做

积分区间。

二． 定积分的几何意义

b 在[a,b]上f(x)?0时，?af(x)dx表示由曲线y?f(x)，两条直线

x?a,x?b 与x轴所围的曲边梯形的面积; 在[a,b]上f(x)?0时，由曲线y?f(x)两条直线x?a,x?b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，

b?af(x)dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在[a,b]上f(x)既取得正值又取得负值时，函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方，而其它部分位于x轴的下b方，?af(x)dx的几何意义是图中阴影的代数和。 补充规定：

b （1） 当a?b时，?af(x)dx?0

ba （2） 当a?b时，?af(x)dx???bf(x)dx

三 定积分的性质

设f(x),g(x)为可积函数，则

bbb (1)?a[f(x)?g(x)]dx ??af(x)dx??ag(x)dx bb（2）?akf(x)dx?k?af(x)dx（k是常数） b （3）?adx?b?a

bcb （4）?af(x)dx =?af(x)dx??cf(x)dx

b (5) 如果在[a,b]上，f(x)?0则?af(x)dx?0 bb （6）[a,b]上,f(x)?g(x) 则，?af(x)dx??ag(x)dx

bb （7）?af(x)dx??af(x)dx (a?b)

(8)设在[a,b]上，m?f(x)?M，则

b m(b?a)??af(x)dx?M(b?a) (其中m,M是常数)

（9）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少有一个数?，使

?f(x)dx?f(?)(b?a)成立。

ab另外，记住下面公式，常常会化简定积分的计算。

?a?a0,f(x)是奇函数 (1)?f(x)dx??

?a2f(x)dx,f(x)是偶函数???0 （２）如果函数f(x）以T为周期连续函数，a是常数，则 ?a?Taf(x)dx??f(x)dx

0eeeT例13.3.1比较?1lnxdx与?1lnxdx的大小。（?1lnxdx大）

eee?a?a2?x2?a?x?0例13．3．2 设f(x)??，利用几何意义，求?f(x)dx。

?a??x?a0?x?a（

??24a2）

例13．3．3设f(x)?0，f?(x)?0,f??(x)?0，按积分值大到小次序排序下列积分

bbf(b)?f(a)（2）?f(x)dx，（3）?f(a)dx。 (x?a)]dx，

aaab?a13.4微积分基本公式 定积分的计算 一．牛顿—莱布尼兹公式 1 变上限函数定义

x 设f(x)可积，?(x)??af(t)dt称为变上限定积分，它是上限变量x的函数。

（1）?[f(a)?bx 2 定理 如果f(x)在[a,b]上连续，则?(x)??af(t)dt在[a,b]上可导，且[?(x)]?x?f(x)；如果函数f(x)在[a,b]上连续，g(x)可导，则