GCT数学 微积分（讲义）(3)

x2?2x?2?ln2，求y?x?1 (2) （1）y?x（2）y?lnx?1x ( 2) lnxlnx（3）y?ex(x2?1)sinx （ex(x2?1)sinx?2xexsinx?ex(x2?1)cosx） （4）y?x(x?1)(x?2)?(x?n)，求y?(0)。 （n!） 例12．2．2求导数

ex（1）y?ln(1?e) ()

1?exx（2）y?xa2x2?x?3 (2xax2?x?3?x2ax2?x?3(2x?1)lna)

（3）y?ln(x?1?x2) (

11?x2)

1e?x1?x?（4）y?) ln(1?e) (??x?x24ln(1?e)1?e（5）y?e (

ln(1?x2)2?x?e?xln(1?x2)?e?xln2(1?x2)22x1?x2 )

（6）y?e?3xa2?x2 (?6xe?3xa2?x2?e?3x2xa?x22)

（7）y?lnlnlnx (（8 ) y?ln1)

xlnxlnlnx1?x111 [(?)] 1?x21?x1?xdy dxf?(lnx) （1）y?f(lnx) （）

x例12．2．3 f为可导函数，求

（2）y?f(x2)?f(ex) 答2xf?(x2)?exf?(ex) 四 高阶导数

例12．2．4 （ 1 ） y?ln(x?a2?x2)，求y??。[?x(a2?x2)

?32]

( 2 ) 设f(x)?e五 补充题 例12．2．5

?1x，求lim?x?0f?(2??x)?f?(2)3。（）

?x16e1 对任意的x都有f(?x)??f(x)且当x0?0时，f?(?x0)??k?0，则 f?(x0)? [(B)]

11(A) k (B) ?k (C) (D) ?

kkf(1)?f(1?x)2设f(x)可导，且满足lim??1，则曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切

x?02x线斜率为[(B)]

(A) 2 (B) ?2 (C)

1 (D) ?1 2??lnx2?a2x?13 f(x)??b(x?1)在(??,??)上可导，则[(B)]

??1x?1?e(A)a?0,b?2 (B) a?0,b?1

1(C) a??1,b?2 (D) a?e?1,b?1

e4如图f(x),g(x)是两个逐段线性的连续函数， 3设u(x)?f[g(x)]，求u?(1)的值。( ?1) 5在曲线y?1(0?x???)上任一点P(x,y) xf(x)g(x)36BPO 处作切线，切线分别教x轴与y轴于A和B，则[(B)] (A)PA?PB (B)PA?PB

A(C)PA?PB (D)PA,PB的大小关系与P的位置有关 12.3 微分

一 定义 函数y?f(x)在x处的微分

设函数y?f(x)在区间I上有定义，x0,x0??x?I，如果函数的改变量

?y?f(x0??x)?f(x0)可表为?y?A?x??(?x)，其中A是不依赖 ?x的常数，

而?(?x)是比?x的高阶无穷小，则称 y?f(x)在x0是可微的，A?x叫做

y?f(x)在x0相应于自变量改变量?x的微分，记作 dy，即dy?A?x或dy?Adx。?y?dy??(?x) 二 微分与导数的关系

函数y?f(x)在点x处可微的充分必要条件是它在该点处可导，此时A?f?(x)即有dy?f?(x)dx。?y?f?(x)?x??(?x) 三 微分的几何意义

四微分的基本公式和四则运算法则

1x?(1?2x)ln(1?2x)例12．3．1 （1）设x??,y?(1?2x)x，求dy.[(1?2x)xdx] 22x(1?2x)11（2）若函数y?f(x)在x0处的导数不为零且不为1，则当?x?0 时该函数在x?x0处的微分dy是[(B) ]

(A)与?x等价无穷小 (B)与?x同阶无穷小 (C)与?x低阶无穷小 (D)与?x高阶无穷小 五补充题

例12．3．2

1（03）如果函数f(x)在x0处可导，?f(x0)?f(x0??x)?f(x0)，则极限 lim?f(x0)?df(x0)=[(C) ]

?x?0?x(A)等于f?(x0) (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 不存在

2 （04）如图f(x),g(x)是两个逐段线性的连 续 函数，设u(x)?f[g(x)]，则u?(1)的值为[(A) ]。

33 (B) ? 4411(C) ? (D)

1212 3（05）设f(x)在x?0处可导，且

65 4 yf(x) (A)

3 2 1 -1 0

g(x)1 2 3 4 5 6 7 8

12f()?(n?1,2,3,?)，则f?(0)? [(C) ] nn(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

1f(a?)n?[（D ）]。 4（06）设f(x)?0，且导数存在，则limnlnn??f(a)f?(a)（A） 0 (B)∞ (C) lnf?(a) (D)

f(a)x1?5（07）设y?ln(tan)?，则y?()?[（B）]。

22248（A）?1 （B）1 （C） （D） 2216??16??f2(h)?26 （08）若函数f(x)可导，且f(0)?f?(0)?2，则lim=[（Ｄ） ]。

h?0h（A）0 （B）1 （C）22 （D）4 12.4中值定理

1 罗尔定理

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，则至少

???(a,b)使得f?(?)?0。 2 拉格朗日中值定理

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少

???(a,b)使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立。

（1）如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数。 （2）如果函数f(x)和g(x)在区间I上的导数相等，则这两个函数在区间I上至多相差一个常数。

例12．4．1 若方程a0xn?a1xn?1???an?1x?0有一个正根x?x0，证明方程 a0nxn?1?a1(n?1)xn?2???an?1?0必有一个小于x0的正根。 例12．4．2f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内f?(x)?0， ① 当f(a)?0时，则开区间(a,b)内f(x)?0；

② 当f(b)?0时，则开区间(a,b)内f(x)?0。 例12．4．3设b?a?0，证明

例12．4．4（1）(05) 若f(x)的二阶导数连续，且limf??(x)?1，则对任意常数

b?abb?a。 ?ln?baax???a必有

xlim???[f?(x?a)?f?(x)]?[ (A) ]

(A) a (B) 1 (C) 0 (D) af??(a)

（2）（08）函数f(x)在[1,??)上具有连续导数，且xlim???f?(x)?0，则[（Ｄ）（A）f(x)在[1,??)上有界 （B）xlim???f(x)存在

（C）xlim???(f(2x)?f(x))存在 （D）xlim???(f(x?1)?f(x))?0

12.5 洛必达法则（00,??型极限） 如果f(x)和g(x)满足

（1）limf(x)?limg(x)?0(?)

（2）在极限点附近f?(x),g?(x)都存在，且g?(x)?0 （3）limf?(x)g?(x)存在或无穷大 ，则 limf(x)f?(g(x)?limx)g?(x) 例12．5．1求极限

（1）x2?3x?2?xlim???ex (?)（0）

（2）limtanx?x0x?0x3(0) ?limsec2x?1tan2x?03x2?limxx?03x2?13 （3） limlnxx???x (0)

（4）lim11x?0(x2?xtanx) (???) （13） 例12．5．2已知f(x)在(??,??)内有二阶连续导数，且f(0)?0，

。 ]