GCT数学 微积分（讲义）(2)

例11．3．6

tanx（1）lim （1）

x?0x11?cosx （2）lim（） 2x?0x21?x?11 （3）lim（）

x?0x2ln(1?x) （4）lim （1）

x?0xex?1 （5）lim （1）

x?0xx （6）I?limn2sin2（x）

n??nn?1n （7）lim() （e2）

n??n?1

11.4 无穷大量与无穷小量 一1 定义（1）如果函数f(x)当x?x0（或x??）时的极限为零，则称函数f(x)当x?x0（或x??）时为无穷小量。 （2）如果函数f(x)当x?x0（或x??）时f(x)无限变大，则称函数f(x)当

x?x0

（或x??）时为无穷大量。记作limf(x)??. 2 无穷大量与无穷小量的关系

在自变量的同一变化过程中，如果函数f(x)为无穷大量，则

量，反之，如果函数f(x)为无穷小量且f(x)?0，则

1为无穷小f(x)1为无穷大量。 f(x)3无穷小量与有极限量的关系

limf(x)?A?f(x)?A??(x)，其中lim?(x)?0 4 无穷小量与有界量之积为无穷小量 5无穷小量的比较

设x??时，?(x)?0,?(x)?0

?(x)(1)若?0，则称x??时?(x)比?(x)高阶无穷小，记作?(x)??(?(x))

?(x)?(x)?c(c是不等于零的常数）(2)若，则称x??时?(x)与?(x)同阶无穷小。 ?(x) 特别地，当c?1时称x??时?(x)与?(x)是等价无穷小，记作x??时，?(x)~?(x)。当x?0时，sinx~x，(l1?x)~x ，n，natx~x，

111?x?1~x，ex?1~x。 1?cosx~x2,22?(x)??，则称x??时?(x)比?(x)低阶无穷小。 (3)若

?(x)6等价无穷小替换定理

设x??时，?(x)?0,?(x)?0，?1(x)?0,?1(x)?0且?(x)~?1(x)，

?(x)?(x)?(x)存在，则 lim。 ?(x)~?1(x)，lim1?lim1x???(x)x???(x)x???(x)11例11．4．1

3ln(1?3x)（1）lim （?）

x?02x21?ax2?1a（2） lim（）

x2x?02e?1sin2x（3） lim （6）

x?0tan(x/3)ln(1?3x) (4) lim （0）

x???ln(1?2x)

11.5 函数的连续性 1 连续的定义

(1) y?f(x)在点x0连续：设y?f(x)在点的某邻域有定义，如果 lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0或 limf(x)?f(x0)，则称y?f(x)在点

?x?0?x?0x?x0x0连续。

（2）左连续，右连续

（3）y?f(x)在(a,b)内连续 （4）y?f(x)在[a,b]内连续 2 函数的间断点及分类 3 连续函数的运算法则

(1)设f(x)，g(x)在x0连续，则f(x)?g(x)，f(x)?g(x)，在x0连续。

(2)复合函数的连续性

设u?g(x)在x0连续，y?f(u)在u0?g(x0)连续，则复合函数y?f[g(x)]在x0连续。

结论：初等函数在其定义区间上是连续的。 4连续函数在闭区间上的性质 (1)有界性

设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界。 (2)最值存在

设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值。 (3)介值定理

设f(x)在[a,b]上连续，f(a)?f(b)，则对f(a)与f(b)之间的任何数?，必存在

c?(a,b)，使得f(c)??。 (4)零点存在定理

f(x)（g(x0)?0），g(x)设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)?0，则必存在c?(a,b)，使得f(c)?0。

x例11．5．1求间断点及判断其类型f(x)?

x(x?1)?1?e?xx?0??tanx例11．5．2设f(x)??ax?0，a,b为何值

?1b?xcosx?0?x?(1)limf(x)存在 ; (2) f(x)在x?0处连续。

x?0例11．5．3证明曲线y?x4?3x2?7x?8在(1,2)内至少与x轴有一个交点。 5 补充题 例11．5．4

1下列极限正确的是[(B) ]

sinx1(A)lim?1 (B) limxsin?1

x??x??xx11sinx(C) limsin不存在 (D)lim?1

x??xx??xx2 下列函数中在x?0处连续的是[(A) ]

?sinx??12,x?0??ex,x?0 (B)?x (A) ????0,x?0?1,x?011??x?x?(C) ?e,x?0 (D) ?(1?2x),x?0

2??x?0?0,x?0?e,3若limf(x)?4，则必定有[ ]。

x?1（A）f(1)?4 (B） f(x)在x?1处无定义

(C)在x?1的某邻域(x?1)中，f(x)?2 ( D)在x?1的某邻域(x?1)中，f(x)?2

第12章 一元函数微分学

12.1导数的概念 一 导数的定义

1设函数y?f(x)在x0某邻域内有定义，当自变量x在点x0取得改变量?x（?x?0）时，相应地函数y?f(x)也有改变量?y?f(x0??x)?f(x0)，如果极限 limf(x0??x)?f(x0)?y?lim存在，则称函数y?f(x)在x0可导，并称这个

?x?0?x?x?0?x极限值 为函数y?f(x)在点x0的 导数，记作f?(x0)，y?x?x，

0dydxx?x0dfdx

x?x02左导数，右导数 如果lim??x?0f(x0??x)?f(x0)?y?lim?存在，则称此极限值为f(x)在x0处的左导?x?0?x?x数，记作f??(x0)。 如果lim数，

记作f??(x0)。

3如果f(x)在(a,b)内每一点可导，则称f(x)在(a,b)内可导。

4如果f(x)在(a,b)内可导，且f??(b),f??(a)存在，则称f(x)在[a,b]内可导。 二 导数的几何意义

函数f(x)在x0点的导数f?(x0)等于曲线y?f(x)在点（x0，f(x0)）处切线的斜率。

切线方程是y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，法线方程是y?f(x0)??

三 可导与连续的关系

可导必连续，反之不然。 四 重要结论

1f(x)在x0处可导?f??(x0)?f??(x0) 2 可导偶函数的导数是奇函数； 3 可导奇函数的导数是偶函数； 4可导周期函数的导数是周期函数。 例12.1.1用定义求函数y?log3x的导数。（

1(x?x0)。 f?(x0)?x?0?f(x0??x)?f(x0)?y?lim存在，则称此极限值为f(x)在x0处的右导

??x?x?0?x1） xln3例12.1.2 研究y?x在x?0的连续性与可导性。（连续不可导）

?sina(x?1)x?1例12.1.3 求a,b的值，使f(x)??在x?1处可导。（a?1,b?0）

lnx?bx?1?例12.1.4 （1） 在曲线y?lnx上求一点，使得在该点的切线斜率为3，并求此

切线方程。 （y?3x?1?ln3）

（2）求曲线y?ex在x?1处的切线方程。（y?x?1） （3）求过(0,0)点并与y?ex相切的直线方程。(y?ex) 例12.1.5f(x)在x0可导，求下列极限

f(x0?h)?f(x0)

h?0hf(x0?2?x)?f(x0??x)（2）lim

?x?0?x例12．1．6（1）可导偶函数的导数是奇函数； （2）可导奇函数的导数是偶函数； （3）可导周期函数的导数是周期函数。

12.2 求导公式和导数运算法则 一 求导公式 （1）lim1 (x?)???x??1 2 (ax)??axlna 3 (logax)??1 4 (sinx)??cosx xlna5 (cosx)???sinx 6 (tanx)??sec2x 二 四则运算

如果f(x)，g(x)在点x都可导，则 （1）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)

（2）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) （3）[f(x)f?(x)g(x)?f(x)g?(x)]?? g(x)g2(x)三 复合函数的导数

设y?f[g(x)]由y?f(u)和u?g(x)构成的复合函数，如果u?g(x)在点x可导，

dudy?g?(x)，y?f(u)在点u可导，?f?(u)，则复合函数y?f[g(x)]在点x可dxdudydydu?f?(u)g?(x)?f?[g(x)]g?(x) ??导，且

dxdudx

例12．2．1 求导数