GCT数学 微积分（讲义）(4)

?exf(x)exf(x)exf?(x)??f(0)x?0x?0??x?x?x2?x又?(x)??e，求??(x)。（?）

1f(x)x?0??f?(0)?f??(0)x?0?x?2?

12.6 函数的单调性与极值 1 函数的单调性的判断法 一 函数的增减性的判断

如果函数f(x)在(a,b)内可导，则f(x)在(a,b)内单调递增（减）的充分必要条件是

。 ?x?(a,b)，有f?(x)?0（?0）例12．6．1 求函数的单调区间

4xx （1）f(x)? [(??,??)?] ?1?x22x2?x?2（2）f(x)? [在(??,?1),(3,??)?，在(?1,1),(1,3)?]。

x?1二 极值 1 定义

设函数f(x)，若?x?(x0??,x0??)（?为某一常数）均有f(x)?f(x0)(x?x0)则称x0为f(x)的极大值点，f(x0)为f(x)的极大值；若?x?(x0??,x0??)均有

f(x)?f(x0)(x?x0)则称x0为f(x)的极小值点，f(x0)为f(x)的极小值。

2 取得极值的必要条件

设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则f?(x0)?0。 3 第一充分条件

设函数f(x)在点x0一个邻域内可导，且f?(x0)?0（或f?(x0)不存在，但f(x)在点x0连续）如果当x取x0左侧邻近值时，f?(x)?0，当x取x0右侧邻近值时，

f?(x)?0，则函数f(x)在点x0处取得极大值；如果当x取x0左侧邻近值时，f?(x)?0，当x取x0右侧邻近值时，f?(x)?0，则函数f(x)在点x0处取得极小值；如果当x取x0左右侧邻近值时，f?(x)恒为正或恒为负，则函数f(x)在点x0处没有极值。

4 第二充分条件

设函数f(x)在点x0有二阶导数，且f?(x0)?0，f??(x0)?0，则 如果当f??(x0)?0时, 函数f(x)在点x0处取得极大值； 如果当f??(x0)?0时, 函数f(x)在点x0处取得极小值。 例12．6．2 求函数f(x)?(x?1)3x2的单调区间和极值。

234（f(0)?0极大值，f()??3极小值）

5525例12．6．3（1）利用二阶导数求函数y?2ex?e?x的极值。（22极小值） （2）讨论方程xe?x?例12．6．4将

1的实根个数。（2个实根） 2e中的函数与图中的导函数图形进行匹配。

12.7 函数的最大值最小值问题

例12．7．1求f(x)?x?(x?1)在区间[?2,2]上的最大、最小值。 （最大值是f(?1)?34，最小值是f(?2)?34?33） 223213例12．7．2

1（06）设正圆锥母线长为5，高为h，底面圆半径为r，在正圆锥的体积最大时，r?[ （ C）] h1(A) 2 (B) 1

2(C)2 (D) 2．（07） 曲线y?x?3

1的点与单位圆 xx2?y2?1 上的点之间的最短距离为d

则[（D ） ]

( A) d?1 (B) d?(0,1) (C) d?2 (D) d?(1,2)

3．（08）已知f(x)?3x2?kx?3(k＞0),当x＞0时，总有f(x)?20成立，则参数k的最小取值是[（Ｂ）]。

（A）32 （ B）64 （C）72 （D）96 12.8 曲线的凹凸、拐点及渐近线 一 曲线的凹凸、拐点

1如果曲线在其任一点切线之上（下），则称此曲线是凹（凸）的。凹凸的分界点称为曲线的拐点。

2设函数f(x)在区间I上二阶可导，当x?I时，f??(x)?0(?0)，则曲线在I是凹（凸）的。

3如果f??(x0)?0，且f??(x)在x0两侧异号，则（x0,f(x0)）时曲线的拐点。 二 曲线的渐近线 1垂直渐近线

?? 当x?x0（x?x0，x?x0）时，有f(x)??，称x?x0是曲线y?f(x)的垂

直渐近线。 2水平渐近线

当x??（x???，x???）时，有f(x)?c，（其中c为常数）称y?c是曲线y?f(x)的水平渐近线。

例12．8．1 判断曲线y?3x4?4x3?1的凹凸，并求拐点。

22 （在(??,0),(,??)凹，在(0,)凸）

33例12．8．2求y?(x?6)e的单调区间、极值、凹凸区间、拐点和渐近线。 解 （1）定义域 x?0

1x2?x?6(x?2)(x?3)xx?e （2）y??e?(x?6)e(?2)?e，

xx2x21x1x111x y???e1x13x?6， 4x 令 y??0得x??2,x?3，令 y???0得 x??(3)

6 13x (??,?2) + - ?2 0 - 极大 y? y?? 6663 0 (0,3) ) ? (?,0) 131313? - 0 - - - (?2,?(3,??) + + - 0 拐点 + ? + ? + 极小 y ?? ?? ?? ?? ?11极大值 f(?2)?4e2，极小值f(3)?9e3，拐点 (?672?1313,13e6)（4）lim?f(x)???，（milf(x)?0）

x?0是垂直渐近线； x?0x?0?， lx?im?f(x)??, 无水平渐近线。

12．8．3（1）求y?ex例x2?1的渐近线。答 x?0垂直渐近线，（2） 证明x?0时，ex?1?x。 三 补充题

1 当x???时，f(x)?ln(1?1x)与g(x)?sin1x，则[(B)]

(A)f(x)与g(x)是同阶无穷小，但不等价 (B)f(x)与g(x)是等价无穷小 (C)f(x)比g(x)是高阶无穷小 (D)f(x)比g(x)是低阶无穷小

2 下图是关于汽车位移函数的图像。利用图像回答下列问题。a) 汽车的初始速度？

b) 汽车在B, C两点哪一点速度更快？

c) 汽车在A, B, C三点速度是增快还是减慢？ d) 在D, E两点之间，汽车的运动状况?

3图中给出了f?(x)的图形，设有以下结论

?? y?1水平渐近线

① f(x)的单调增区间(2,4)?(6,9) ②

f(x)的单调增区间

(1,3)?(5,7)?(8,9) ③ x?1,x?3,x?5,x?7是f(x)的极值点 ④ x?1,x?3,x?5,x?7是曲线f(x)拐点的横坐标 则以上结论中正确的是[(D) ]

(A) ① ，② (B) ②，③ (C) ③，④ (D) ①，④ 4设f(x)二阶可导，且f?(x)?0，f??(x)?0， ?y?f(x??x)?f(x)，则当?x?0时有[ ]

(A) ?y?dy?0 (B) ?y?dy?0 (C) dy??y?0 (D)dy??y?0 5 设f(x)?(x?1)(2?x)，则[(C) ]

(A)x?1是f(x)的极值点，但(1,0)不是曲线f(x)的拐点 (B)x?1不是f(x)的极值点，但(1,0)也不是曲线f(x)的拐点

(C)x?1是f(x)的极值点，且(1,0)是曲线f(x)的拐点 (D)x?1不是f(x)的极值点，但(1,0)是曲线f(x)的拐点 6（03）方程x2?xsinx?cosx的实数根的个数是[(B) ] (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

7（04）如下不等式成立的是[(B) ]

(?x) (B)在(?3,0)区间上， (A)在(?3,0)区间上，ln3?x?ln3ln3?x?ln3(?x)

(C)在[0,??)区间上，ln3?x?ln3(?x) (D)在[0,??)区间上，ln3?x?ln(3?x) 8 （05）函数f(x)?xx(x?1)(x?2)(A) 1条垂直渐近线，1条水平渐近线

(B) 1条垂直渐近线，2条水平渐近线 (C) 2条垂直渐近线，1条水平渐近线 (D) 2条垂直渐近线，2条水平渐近线

在(??,??)上有[ (D)]