考研必备 - 2012年考研数学公式大全(9)

代入f?x1,x2,?,xn?，得到y1,?,yn的一个二次型g?y1,?,yn?这样的操作称为对f?x1?xn?作了一次可逆线性变量替换。

设Y??y1,y2,?,yn?，则上面的变换式可写成

T x?CY 则f?x1?xn??xTAx?YTCTACY?g?y1,?,yn? 于是g?y1,?yn?的矩阵为CTAC ?CTAC??CTATCT?CTAC

T

实对称矩阵的合同

两个n阶实对称矩阵A和B，如果存在n阶实可逆矩阵C，值得CTAC?B。称A与B合同，记作A~?B。

T 命题：二次型f?x1?xn??xAx可用可逆线性变换替换化为

g?y1?yn??YTBY?A~?B

二次型的标准化和规范化

1．每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型。 也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。 设A是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得D?Q QAQ?QT?1?1AQ是对角矩阵。

AQ?D A~D，A~?D

2．标准化和规范化的方法

①正交变换法 ② 配方法

3．惯性定理与惯性指数

定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于0的个数和小于0的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。

一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。 用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵A合同于唯一规范对角矩阵。

定理：二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯性指数相等。

实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。

正定二次型与正定矩阵

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定义：一个二次型f?x1,x2,?,xn?称为正定二次型，如果当x1,?,xn不全为0时，

f?x1,x2,?,xn??0。

22 例如，标准二次型f?x1,x2,?,xn??d1x12?d2x2???dnxn正定?di?0，

i?1,?,n

（必要性“?”，取x1?1，x2???xx?0，此时f?1,0,?,0??d1?0同样可证每个di?0）

实对称矩阵正定即二次型xTAx正定，也就是：当x?0时，xTAx?0。 ?? 1??0 例如实对角矩阵?0??0?000?00??0?正定?? i?0，i?1,?,n ?0?? n??? 200 定义：设A是一个n阶矩阵，记Ar是A的西北角的r阶小方阵，称Ar为A的第r个顺序主子式（或r阶顺序主子式）。

附录一 内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化

一．向量的内积 1．定义

两个n维实向量?,?的内积是一个数，记作??,??，规定为它们对应分量乘积之和。 ?a1??a2 设??????a?n??b1??????b2?T,?????,??ab?ab???ab??? ，则 1122nn?????????b???n? 2．性质

①对称性：??,?????,??

②双线性性质：??1??2,?????1,?????2,?? ??,?1??2????,?1????,?2? ?c?,???c??,?????,c??

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③正交性：??,???0，且??,???0???0 ??,??? 3．长度与正交 向量?的长度??n?ai?12i

??,????ai2i?1n

??0???0 c??c?

单位向量：长度为1的向量

?2??1??0??2???? ?0?，?1?，?0?0??0??2???????2?????， ???? 若??0，则

??是单位向量，称为?的单位化。

???1???1

两个向量?,?如果内积为0：??,???0，称它们是正交的。

如果n维向量组?1,?2,?,?s两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组。 例1．如果向量组?1,?2,?,?s两两正交，并且每个向量都不为零向量，则它们线性无关。 证：记A?? ?1,?2,?,?s?，则 ???1?0T AA???0?0?2002000?2000?0?s2???? ???T 则r?AA??s,?r?A??s即r??1,?,?s??s。

例2．若A是一个实的矩阵，则r?AA??r?A?。

T 二．正交矩阵

一个实n阶矩阵A如果满足AAT?E，就称为正交矩阵。AT?A?1 定理 A是正交矩阵?A的行向量组是单位正交向量组。 ?A的列向量组是单位正交向量组。 例3．正交矩阵A保持内积，即

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?A?,A?????,?? A???

证：?A?,A????TATA???T????,??

?1????1，求Ax??0?的解。

?0??? 例4．（04）A是3阶正交矩阵，并且a11 三．施密特正交化方法

这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。

?2????1???c? 设?1,?2,?3线性无关 ①正交化：令?1??1 ?2??2???1,?2??

??1,?1?1 （设?2??2?k?1，??2,?1????2,?1??k??1,?1? 当k???2,?1?时，?2,?1正交。）

??1,?1???1,?3??1??1,?1??1?1? ?3??3???2,?3??2

??2,?2??2?2 ②单位化：令?1?，?2?，?3??3?3

则?1,?2,?3是与?1,?2,?3等价的单位正交向量组。 四．实对称矩阵的对角化 设A是一个实的对称矩阵，则 ①A的每个特征值都是实数。

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②对每个特征值?，重数?n?r??E?A?。即A可以对角化。 ③属于不同特征值的特征向量互相正交。

于是：存在正交矩阵Q，使得Q?1AQ是对角矩阵。

对每个特征值?，找??E?A?x?0的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。 设A是6阶的有3个特征值?1（二重），?2（三重），?1（一重） 找?1的2个单位正交特征向量?1,?2。 找?2的3个单位正交特征向量?3,?4,?5。 找?3的一个单位特征向量?6。 Q???1,?2,?3,?4,?5,?6?

例5．（04）A是3阶实对称矩阵，r?A??2，6是它的一个二重特征值， ?1??2??1??????? ?1?，?1?和??2?都是属于6的特征向量。

?0??1??3??????? （1）求A的另一个特征值。 （2）求A。

解：（1）另一个特征值为0。 ?x1? （2）设?x2?x?3???是属于0的特征向量，则 ???x1?x2?0? ?2x1?x2?x3?0

?x?2x?3x?023?1 此方程组n?3，r?A??2，n?r?A??1，基础解系包含一个解，任何两个解都相关。 于是，每个非零解都是属于0的特征向量。 ?1? ?2?1??1?A ?1?0?11?22110??1??1???0?03???1??6???1???6??1???001012661??1?????1? ????1?是一个解。

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