考研必备 - 2012年考研数学公式大全(10)

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附录二 向量空间

1．n维向量空间及其子空间

记为Rn由全部n维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为n维向量空间。

设V是Rn的一个子集，如果它满足

（1）当?1,?2都属于V时，?1??2也属于V。 （2）对V的每个元素?和任何实数c，c?也在V中。 则称V为Rn的一个子空间。

例如n元齐次方程组AX?0的全部解构成Rn的一个子空间，称为AX?0的解空间。 但是非齐次方程组AX??的全部解则不构成Rn的子空间。

对于Rn中的一组元素?1,?2,?,?s，记它们的全部线性组合的集合为

L??1,?2,?,?s???c1?1?c2?2???cs?sci任意?，它也是Rn的一个子空间。

2．基，维数，坐标

设V是Rn的一个非0子空间（即它含有非0元素），称V的秩为其维数，记作dimV。 称V的排了次序的极大无关组为V的基。

例如AX?0的解空间的维数为n?r?A?，它的每个有序的基础解系构成基。

又如dim?L??1,?2,?,?s???r??1,?2,?,?s?，?1,?2,?,?s的每个有序的极大无关组构成基。

设?1,?2,?,?k是V的一个基，则V的每个元素?都可以用?1,?2,?,?k唯一线性表示：

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??c1?1?c2?2???ck?k

称其中的系数?c1,c2,?,ck?为?关于基?1,?2,?,?k的坐标，它是一个k维向量。 坐标有线性性质：

（1）两个向量和的坐标等于它们的坐标的和：

如果向量?和?关于基?1,?2,?,?k的坐标分别为?c1,c2,?,ck?和?d1,d2,?,dk?，则???关于基?1,?2,?,?k的坐标为

?c1?d1,c2?d2,?,ck?dk???c1,c2,?,ck???d1,d2,?,dk? （2）向量的数乘的坐标等于坐标乘数：

如果向量?关于基?1,?2,?,?k的坐标为?c1,c2,?,ck?，则c?关于基?1,?2,?,?k的坐标为

?cc1,cc2,?,cck??c?c1,c2,?,ck?。

坐标的意义：设V中的一个向量组?1,?2,?,?t关于基?1,?2,?,?k的坐标依次为?1,?2,?,?t，则?1,?2,?,?t和?1,?2,?,?t有相同的线性关系。

于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等等。

3．过渡矩阵，坐标变换公式

设?1,?2,?,?k和?1,?2,?,?k都是V的一个基，并设?1在?1,?2,?,?k中的坐标为

?c1i,c2i,?,cki?，构造矩阵

?c11??c21 C?????c?k1c12c22?ck2????c1k??c2k?， ???ckk?? 称C为?1,?2,?,?k到?1,?2,?,?k的过渡矩阵。 ??1,?2,?,?k????1,?2,?,?k?C。

如果V中向量?在其?1,?2,?,?k和?1,?2,?,?k中的坐标分别为 x??x1,x2,?,xk?和y??y1,y2,?,yk?，则

TT ????1,?2,?,?k?x

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????1,?2,?,?k 于是关系式： x?Cy

称为坐标变换公式。

4．规范正交基

如果V的一基?1,?2,?,?k是单位正交向量组，则称为规范正交基。 两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。 设?的坐标为?c1,c2,?,ck?，?的坐标为?d1,d2,?,dk?， 则??,???c1d1?c2d2???ckdk

两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。 做题思路 先化简再计算

例5．（03）设n维列向量???a,0,?,0,a?，a?0。规定A?E???T，B?E?T?y???1,?2,?,?k?Cy

1a??T。

已知AB?E，求a。

注意化简技巧（中间过程也很重要） ?1??0 例13．（00）己知A*??1??0?010?300100??0?，求矩阵B，使得ABA?0?8???1?BA?1?3E.

证明一个矩阵可逆切入点 行列式=0 ，证明Ax=E ， 证明两式相等切入点 AB=某个等式=BA

（从对称性想到AB可逆BA也可逆的着手点AB?E?BA?E）

例20．设n阶矩阵A和B满足等式AB?aA?bB，ab?0, 证明：AB?BA

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