考研必备 - 2012年考研数学公式大全(5)

A?B?A?B

A?B???1??1,?2??2,?3??3?

A?B??1??1,?2??2,?3??3

A0?BA?0B?AB

?E?i,j?c???1

有关乘法的基本运算

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj 线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB? 结合律 ?AB?C?A?BC? ?AB??BTAT

TAB?AB

AkAl?Ak?l ?Ak??Akl

lkk ?AB??AB不一定成立！

kAE?A，EA?A

A?kE??kA，?kE?A?kA

AB?E?BA?E

与数的乘法的不同之处

kk ?AB??AB不一定成立！

k无交换律 因式分解障碍是交换性

一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如 A?2A?3E??A?3E??A?E?

2 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当AB?0时??A?0或B?0 由A?0和AB?0??B?0

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由A?0时AB?AC??B?C（无左消去律） 特别的 设A可逆，则A有消去律。

左消去律：AB?AC?B?C。

右消去律：BA?CA?B?C。

如果A列满秩，则A有左消去律，即

①AB?0?B?0 ②AB?AC?B?C

可逆矩阵的性质 i）当A可逆时，

AT也可逆，且?AT??1??A?1?T。

Ak也可逆，且?Ak??1??A?1?k。

数c?0，cA也可逆，?cA??1?11cA?。

ii）A，B是两个n阶可逆矩阵?AB也可逆，且?AB??1?B?1A?1。

推论：设A，B是两个n阶矩阵，则AB?E?BA?E 命题：初等矩阵都可逆，且 ?E?i,j???1?E?i,j?

?E?i?c????1?E???1???i?????? ?c? ?E?i,j?c????1?E?i,j??c??

命题：准对角矩阵

A11000A?111A?0A220000?0可逆?每个Aii都可逆，记A?1?00000Akk0

伴随矩阵的基本性质：

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00A?12200?00000A?1kk

AA*?A*A?AE

A*A?1 当A可逆时， A?E 得A?A*A， （求逆矩阵的伴随矩阵法）

且得：?A*? 伴随矩阵的其他性质

①A*?An?1?1?AA?A??1???1? ?A*?A?1A?1???????1A?? ?A??, A*?AAT?1

②?AT?*??A*?, ③?cA?*?cn?1A*, ④?AB?*?B*A*,

⑤?Ak?*??A*?，

k ⑥?A*?*?An?2?aA。 n?2时， ?A*?*?A A*????c??b?? d?? 关于矩阵右上肩记号：T，k，?1，*

i) 任何两个的次序可交换， 如?AT?*??A*?，

T ?A*??1?A??1?*等

?1 ii) ?AB??BTAT, ?AB?T?B?1A?1，

?AB?*?B*A*

kk 但?AB??BA不一定成立！ k

线性表示

0??1,?2,?,?s

?i??1,?2,?,?s

???1,?2,?,?s?x1?1?x2?2???xs?s??有解 ???1,?2,?,?s?x??有解x??x1,?,xs?23

?T?

Ax??有解，即?可用A的列向量组表示 AB?C??r1,r2,?,rs?，A???1,?2,?,?n?， 则r1,r2,?,rs??1,?2,?,?n。 ?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s，

则存在矩阵C，使得??1,?2,?,?t????1,?2,?,?s?C

线性表示关系有传递性 当?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s?r1,r2,?,rp， 则?1,?2,?,?t?r1,r2,?,rp。 等价关系：如果?1,?2,?,?s与

?1,?2,?,?t互相可表示

?1,?2,?,?s???1,?2,?,?t

记作?1,?2,?,?s??1,?2,?,?t。

线性相关

s?1，单个向量?，x??0 ?相关???0

s?2，?1,?2相关?对应分量成比例 ?1,?2相关?a1:b1?a2:b2???an:bn

①向量个数s=维数n，则?1,?,?n线性相（无）关??1??n????0 A???1,?2,?,?n?，Ax?0有非零解?A?0

如果s?n，则?1,?2,?,?s一定相关

Ax?0的方程个数n?未知数个数s ②如果?1,?2,?,?s无关，则它的每一个部分组都无关

③如果?1,?2,?,?s无关，而?1,?2,?,?s,?相关，则???1,?2,?,?s

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证明：设c1,?,cs,c不全为0，使得c1?1???cs?s?c??0

则其中c?0，否则c1,?,cs不全为0，c1?1???cs?s?0，与条件?1,?,?s无关矛

c1ccsc盾。于是????1????s。

④当???1,?,?s时，表示方式唯一??1??s无关

（表示方式不唯一??1??s相关）

⑤若?1,?,?t??1,?,?s，并且t?s，则?1,?,?t一定线性相关。

证明：记A???1,?,?s?，B???1,?,?t?，

则存在s?t矩阵C，使得 B?AC。

Cx?0有s个方程，t个未知数，s?t，有非零解?，C??0。

则B??AC??0，即?也是Bx?0的非零解，从而?1,?,?t线性相关。

各性质的逆否形式

①如果?1,?2,?,?s无关，则s?n。

②如果?1,?2,?,?s有相关的部分组，则它自己一定也相关。

③如果?1??s无关，而????1,?,?s，则?1,?,?s?无关。

⑤如果?1??t??1??s，?1??t无关，则t?s。

推论：若两个无关向量组?1??s与?1??t等价，则s?t。

极大无关组

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