考研必备 - 2012年考研数学公式大全(8)

定义：如果存在不全为0的c1,c2,?,cs，使得c1?1?c2?2???cs?s?0则称

?1,?2,?,?s线性相关，否则称?1,?2,?,?s线性无关。

即：?1,?2,?,?s线性相（无）关?x1?1???xs?s?0有（无）非零解

???1,?2,?,?s?x?0有（无）非零解

极大无关组和秩

定义：?1,?2,?,?s的一个部分组?I?称为它的一个极大无关组，如果满足：

i）?I?线性无关。

ii）?I?再扩大就相关。

?I?? ?II???1??s??I? ??1,?2,?,?s定义：规定?1,?2,?,?s的秩? ??1,?2,?,?s??#?I?。

如果?1,?2,?,?s每个元素都是零向量，则规定其秩为0。

0?? ??1,?,?s??min?n,s?

有相同线性关系的向量组

定义：两个向量若有相同个数的向量：?1,?2,?,?s,?1,?2,?,?s，并且向量方程 x1,?1?x2?2???xs?s?0与x1?1?x2?2???xs?s?0同解，则称它们有相同的线性关系。

①对应的部分组有一致的相关性。 ?1,?2,?4的对应部分组?1,?2,?4，

若?1,?2,?4相关，有不全为0的c1,c2,c4使得 c1?1?c2?2?c4?4?0，

即?c1,c2,0,c4,0,?,0?是x1?1?x2?2???xs?s?0的解，

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从而也是x1?1?x2?2???xs?s?0的解，则有 c1?1?c2?2?c4?4?0， ?1,?2,?3也相关。 ②极大无关组相对应，从而秩相等。 ③有一致的内在线表示关系。

设：A???1,?2,?,?s?，B???1,?2,?,?s?，则 x1?1?x2?2???xs?s?0 即 Ax?0， x1?1?x2?2???xs?s?0 即 Bx?0。

?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?s有相同的线性关系即Ax?0与Bx?0同解。 反之，当Ax?0与Bx?0同解时，A和B的列向量组有相同的线性关系。

矩阵的秩

定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩 规定r?A??行（列）向量组的秩。

r?A?的计算：用初等变换化A为阶梯形矩阵B，则B的非零行数即r?A?。 命题：r?A??A的非零子式阶数的最大值。

方程组的表达形式

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1??a21x1?a22x2???a2nxn?b2 1．?

???ax?ax???ax?bm22mnnm?m11 2．Ax?? ?是解?A???

3．x1?1?x2?2???xn?n?? 有解????1,?2,?,?n

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基础解系和通解

1．Ax?0有非零解时的基础解系

?1,?2,?,?e是Ax?0的基础解系的条件： ①每个?i都是Ax?0的解

②?1,?2,?,?e线性无关

③Ax?0的每个解???1,?2,?,?e

③l?n???A?

/

通解

①如果?1,?2,?,?e是Ax?0的一个基础解系，则Ax?0的通解为

c1?1?c2?2???ce?e，ci任意

②如果?0是Ax?????0?的一个解，?1,?2,?,?e是Ax?0的基础解系，则Ax??的通解为

?0?c1?1?c2?2???ce?e，ci任意

特征向量与特征值

定义：如果??0，并且A?与?线性相关，则称?是A的一个特征向量。此时，有数?，使得A????，称?为?的特征值。

设A是数量矩阵?E，则对每个n维列向量?，A????，于是，任何非零列向量都是?E的特征向量，特征值都是?。

①特征值有限特征向量无穷多

若A????，A?c???cA??c?????c??

A?1???1? ??A?c1?1?c2?2??c1A?1?c2A?2???c1?1?c2?2?

A?2???2? ②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。 ③计算时先求特征值，后求特征向量。

特征向量与特征值计算

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A????,??0

???E?A???0,??0

??是??E?A?x?0的非零解 命题：①?是A的特征值?? E?A?0

②?是属于?的特征向量??是?? E?A?x?0的非零解 称多项式xE?A为A的特征多项式。

?是A的特征值??是A的特征多项式xE?A的根。 ?的重数：?作为xE?A的根的重数。

n阶矩阵A的特征值有n个：? 1,? 2,?,? n，可能其中有的不是实数，有的是多重的。 计算步骤：

①求出特征多项式xE?A。 ②求xE?A的根，得特征值。

③对每个特征值? i，求?? iE?A?x?0的非零解，得属于? i的特征向量。

n阶矩阵的相似关系

设A，B是两个n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵U，使得U记作A~B。

n阶矩阵的对角化

基本定理 A可对角化?A有n个线性无关的特征向量。 设可逆矩阵U???1,?2,?,?n?，则 ??1??0?1 UAU??0??0?000?00??0? ?0??n??000?00??0????1?1,?2?2,?,?n?n? ?0??n???1AU?B，则称A与B相似，

?200??1??0???A?,?,?,??U 12n?0??0?39

?200

?A?i??i?i，i?1,2,?,n 判别法则

A可对角化?对于A的每个特征值?，?的重数?n????E?A?。

计算：对每个特征值?i，求出??iE?A?x?0的一个基础解系，把它们合在一起，得到n个线性无关的特征向量，?1,?,?n。令U???1,?2,?,?n?，则 ??1??0?1 UAU??0??0?000?00??0?，其中?i为?i的特征值。 0???n???200

二次型（实二次型） 二次型及其矩阵

一个n元二次型的一般形式为 f?x1,x2,?,xn??n?ai?1iixi?2?aijxixj

i?j2 只有平方项的二次型称为标准二次型。

形如：x1?x2???xp?xp?1???xp?q的n元二次型称为规范二次型。 对每个n阶实矩阵A，记x??x1,x2,?,xn?，则xTAx是一个二次型。

TT f?x1,x2,?,xn??xAx

22222 称A的秩??A?为这个二次型的秩。 标准二次型的矩阵是对角矩阵。 规范二次型的矩阵是规范对角矩阵。

可逆线性变量替换

设有一个n元二次型f?x1,x2,?,xn?，引进新的一组变量y1,y2,?,yn，并把x1,x2,?,xn用它们表示。

?x1?c11y1?c12y2???c1nyn?c11???x2?c21y1?c22y2???c2nyn?c21 ? （并要求矩阵C???????c?x?cy?cy???cy?n1n11n22nnn?n40

c12c22?cn2????c1n??c2n?是可逆矩阵） ???cnn??