考研必备 - 2012年考研数学公式大全(6)

一个线性无关部分组?I?，若#?I?等于秩?1,?2,?4,?6??I?，?I?就一定是极大无关组 ①?1,?2,?,?s无关?? ??1,?2,?,?s??s

②???1,?2,?,?s? ? ??1,?2,?,?s,???? ??1,?,?s? 另一种说法： 取?1,?2,?,?s的一个极大无关组?I?

?I?也是?1,?2,?,?s,?的极大无关组??I?,?相关。 证明：???1,?,?s????I???I?,?相关。 ?? ??1,?,?s?,???1??s ? ??1,?,?s,???? /?1,?,?s?? ??1,?,?s??1,?? ③?可用?1,?,?s唯一表示?? ??1,?,?s,?? ?? ??1,?,?s??s ④?1,?,?t??1,?,?s?? ??1,?,?s,?1,?,?t??? ??1,?,?s?

?? ??1,?,?t??? ??1,?,?s?

⑤?1,?,?s??1,?,?t?? ??1,?,?s??? ??1??s,?1??t??? ??1,?,?t?

矩阵的秩的简单性质 0?r?A??min?m,n? r?A??0?A?0 A行满秩：r?A??m A列满秩：r?A??n n阶矩阵A满秩：r?A??n

A满秩?A的行（列）向量组线性无关 ?A?0 ?A可逆

?Ax?0只有零解，Ax??唯一解。

矩阵在运算中秩的变化

初等变换保持矩阵的秩

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①r?AT??r?A?

②c?0时，r?cA??r?A? ③r?A?B??r?A??r?B? ④r?AB??min?r?A?,r?B??

⑤A可逆时，r?AB??r?B?

弱化条件：如果A列满秩，则??AB????B? 证：下面证ABx?0与Bx?0同解。 ?是ABx?0的解?AB??0

?B??0??是Bx?0的解

B可逆时，r?AB??r?A?

⑥若AB?0，则r?A??r?B??n（A的列数，B的行数） ⑦A列满秩时r?AB??r?B? B行满秩时r?AB??r?A?

⑧r?AB??n?r?A??r?B?

解的性质

1．Ax?0的解的性质。

如果?1,?2,?,?e是一组解，则它们的任意线性组合c1?1?c2?2???ce?e一定也是解。

?i,A?i?0?A?c1?1?c2?2???ce?e??0 2．Ax?????0?

①如果?1,?2,?,?e是Ax??的一组解，则

c1?1?c2?2???ce?e也是Ax??的解?c1?c2???ce?1 c1?1?c2?2???ce?e是Ax?0的解?c1?c2???ce?0 A?i????i

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A?c1?1?c2?2???ce?e??c1A?1?c2A?2???ceA?e ??c1?c2???ce??

特别的： 当?1,?2是Ax??的两个解时，?1??2是Ax?0的解

②如果?0是Ax??的解，则n维向量?也是Ax??的解????0是Ax?0的解。 解的情况判别

方程：Ax??，即x1?1?x2?2???xn?n?? 有解????1,?2,?,?n

???A|?????A?????1,?2,?,?n,??????1,?2,?,?n?

无解???A|?????A? 唯一解???A|?????A??n

无穷多解???A|?????A??n 方程个数m：

??A|???m,??A??m

①当??A??m时，??A|???m，有解

②当m?n时，??A??n，不会是唯一解 对于齐次线性方程组Ax?0，

只有零解???A??n（即A列满秩） （有非零解???A??n）

特征值特征向量

?是A的特征值??是A的特征多项式xE?A的根。

两种特殊情形：

（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。 ?? 1? A??0?0?**???? ? 3??? 2028

x?? 1?*x?? 20?*??x?? 3??x?? 1??x?? 2??x?? 3?

xE?A?00 （2）r?A??1时：A的特征值为0,0,?,0,tr?A? 特征值的性质

命题：n阶矩阵A的特征值?的重数?n?r?? E?A? 命题：设A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则 ①? 1? 2?? n?A ②? 1?? 2???? n?tr?A? 命题：设?是A的特征向量，特征值为?，即A????，则 ①对于A的每个多项式f?A?，f?A???f?x??

②当A可逆时，A???11??，A*??|A|??

命题：设A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则

①f?A?的特征值为f?? 1?,f?? 2?,?,f?? n?

②A可逆时，A?1的特征值为

1,1,?,1? 1? 2? n

A*的特征值为

|A||A||A| ,,?,? 1? 2? n ③AT的特征值也是? 1,? 2,?,? n 特征值的应用

①求行列式|A|?? 1,? 2,?,? n ②判别可逆性

?是A的特征值?? E?A?0?A?? E不可逆 A?? E可逆??不是A的特征值。

当f?A??0时，如果f?c??0，则A?cE可逆

若?是A的特征值，则f???是f?A?的特征值?f????0。

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f?c??0?c不是A的特征值?AcE可逆。 n阶矩阵的相似关系

当AU?UA时，B?A，而AU?UA时，B?A。 相似关系有i）对称性：A~B?B~A U?1AU?B，则A?UBU?1

ii）有传递性：A~B，B~C，则A~C

U?1AU?B，V?1BV?C，则

?V?1 ?UV??1A?UV??V?1U?1AUVBV?C

命题 当A~B时，A和B有许多相同的性质 ①A?B

②??A????B?

③A，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

A与B的特征向量的关系：?是A的属于?的特征向量?U?1?是B的属于?的特征向量。

A?????BU??1?????U???1 ? ?U?1

AUU?1A???U??U?1?1????U???1

正定二次型与正定矩阵性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性

f?x1,x2,?,xn?变为g?y1,y2,?,yn?，则它们同时正定或同时不正定

A~?B，则A，B同时正定，同时不正定。

T 例如B?CAC。如果A正定，则对每个x?0

TTT xBx?xCACx??Cx?TACx?0

（C可逆，x?0，?Cx?0！） 我们给出关于正定的以下性质 A正定?A~?E

T ?存在实可逆矩阵C，A?CC。

?A的正惯性指数?n。 ?A的特征值全大于0。

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