高一数学：1.2.3直线的一般式方程 课件 (北师大必修2)

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《直线的一般式方程》

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教学目的 使学生知道什么是直线的一般式方程，会 将直线的一般式方程化为点斜式、斜截式、 两点式方程，反之亦然，理解二元一次方 程与直线的关系。 教学重点：直线的一般式方程、点斜式方 程、斜截式方程的互化。 教学难点：理解二元一次方程与直线的关 系。

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㈠复习提问：

①直线方程有几种形式？

点斜式：已知直线上一点P1(x1,y1)的坐标， 和直线的斜率k,则直线的方程是 y y k ( x x ) 1 1 斜截式：已知直线的斜率k,和直线在y轴上的 截距b则直线方程是 y kx b两点式：已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2, y2)则直线的方程是： y y1 x x1 y2 y1 x 2 x1 截距式：已知直线在X轴Y轴上的截距为a,b, 则直线的方程是

x y 1 a b

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②上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？? x+ ? y+ ? =0

y y1 k ( x x1 )

kx ( 1) y y1 kx1 0kx ( 1) y b 0( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x1 ( y1 y2 ) y1 ( x2 x1 ) 0

y kx by y1 x x1 y2 y1 x 2 x1x y 1 a b

bx ay ( ab) 0

上述四式都可以写成直线方程的一般形式：

Ax+By+C=0, A、B不同时为0。

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㈡讲解新课： ①直角坐标系中，任何一条直线的方程都是关于x,y的一 次方程。

⑴直线和Y轴相交时：此时倾斜斜角α≠π/2,直线的斜 率k存在，直线可表示成y =k x+b(是否是二元一次方程？)

⑵直线和Y轴平行(包括重合)时：此时倾斜角α=π/2, 直线的斜率k不存在，不能用y =kx+b表示，而只能表 示成x=a(是否是二元一次方程？) 结论：任何一条直线的方程都是关于x,y的二元一次方程。 ②任何关于x,y的一次方程Ax+By+c=0(A,B不同时为零) 的图象是一条直线⑴B≠0时，方程化成 这是直线的斜截 式，

它表示为斜率为 – A/B,纵截距为- C/B的直线。

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⑵B=0时，由于A,B不同时为零所以A≠0,此时，Ax+By+ C=0可化为x= -C / A,它表示为与Y轴平行(当C=0时)或重合 (当C=0时)的直线。

思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？

结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 (2)关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。 我们把方程Ax+By+c=0(A,B不同时为零)叫做 直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是 一一对应。

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例1:已知直线经过点A(6,- 4),斜率 为 – 4/3,求直线的点斜式、一般式和截距 式方程。 解：经过点A(6,- 4)并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是 y + 4 = -4/3 (x – 6) 化成一般式，得 截距式是： 4x+3y – 12=0

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巩固训练(一)若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的

余弦值 是-3/5, 则直线l的点斜式方程是___________

直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________

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例2:把直线L的方程x –2y+6= 0化成斜截式， 求出直线L的斜率和它在x轴与y轴上的截距， 并画图。 y3

解：将原方程移项，得2y = x+6, 两边除以2,得斜截式

-6

o

x

因此，直线L的斜率k=1/2,它在y轴上的截距是3 ,

令y=0,可得 x= -6即直线L在x轴上的截距是- 6

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巩固训练(二)设直线l的方程为Ax+By+c=0(A,B不同时为 零) 根据下列各位置特征，写出A,B,C应满足的 关系： C=0 直线l过原点:____________ A+B+C=0 直线l过点(1,1):___________ A=0,B=0,C=0 直线l平行于 轴:___________ A=0,B=0,C=0 直线l平行于轴:____________

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例3:设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1) y=2m-6根据下列条件确定m的值(1)l在x轴上的 截距是-3;(2)斜率是-1。 解：(1)由题意得

(2)由题意得

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巩固训练(三) 1、若直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾 斜角为450,则m的值是 ( B ) (A)3 (B) 2 (C)-2 (D)2与3

2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截 -6 距为3,则m的值是__________

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例4:利用直线方程的一般式，求过点(0,3) 并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。解：设直线为Ax+By+C=0, ∵直线过点(0,3)代入直线方程 得3B= -C, B= -C/3 又直线与x,y轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B 由三角形面积为6得3

y x O

∴A=±C/4 ∴方程为

所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0

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巩固训练(四):

⒈根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式： ①斜率是 – 0.5,经过点A(8,-2);y+2= - 0.5(x-8),x+2y-4=0,

②经过点B(4,2),平行于X轴；y=2,y-2=0

③在x轴和y轴上的截距分别是3/2,- 3;

④经过两点P1(3,-2),P2(5,-4);y+2 -2 x-3 = 2

,x+y-1=0,

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2已知直线Ax+By+C=0 ①当B≠0时，斜率是多少？当B=0呢？答：B≠0时，k= -A/B;B=0时，斜率不存在；

②系数取什么值时，方程表示通过原点的直 线？答：C=0时，表示直线过原点。

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⒊求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并 画出图形： ①k= - 3,B=5; ①3x+y-5=0 ②x/4 -y/5 =1 ③x+2y=0②k=5/4,b= -5 ; ③k= -1/2,b=0; ④k=7/6,b=2/3 ⑤k=0,b=7/2。

④7x-6y+4=0⑤2y-7=0