1.4(条件概率与乘法公式)

1.4(条件概率与乘法公式)

第1章 概率论基础

1.4 条件概率与乘法公式1.4.1 条件概率 在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是 在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概 率. 下面首先看一个例子:

1.4(条件概率与乘法公式)

一、条件概率

1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”, 事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.分析 设 H 为正面, T 为反面.A { HH , HT , TH }, { HH , HT , TH , TT }.

B { HH , TT }, P ( B )

2 4

1 2

.

事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为P ( B A), 则 P ( B A ) 1 3

1 4 3 4

P ( AB ) P ( A)

P ( B ).

1.4(条件概率与乘法公式)

1.4.1 条件概率

定义1.6 设A与B是同一样本空间中的两事件，若P(A) > 0,则称P (B A) P ( AB ) P ( A)

(1.2)

为在A发生下的B的条件概率. 类似地，当P(B) > 0时，定义在B发生下事件A发 生的条件概率为P(A B) P ( AB ) P(B)

(1.3)

1.4(条件概率与乘法公式)

不难看出，计算条件概率P(B|A)有两种方法：

在原样本空间 中分别求出P(A),P(AB),再 按定义公式计算； 在缩减样本空间A中按一般概率P(B)计算。

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【例1】一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二

等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到一等品”,事件B为“第二次取到 一 〖解〗方法1[在原样本空间 等品”,求条件概率P(B|A)。 中计算]

因为“不放回依次取两只”[有序，排列]的每种不

同2 结果就是一个样本点,所以样本点总数为 P5 5 4 20.

A所含样本点均为“第一次取一等品的两产品”,故 其1 1 所含样本点总数[有利场合数]为 . C C 12 3 4

1.4(条件概率与乘法公式)

而AB的样本点均为“两次均取一等品”,故其所含样本点 总数[有利场合数]为

C C 6,1 3 1 2

由古典概率公式得:P( A) 12 20 , P( AB) 6 20 ,

从而,由条件概率公式得:P( B | A) P( AB) 1

. P( A) 2

方法2[在缩减样本空间A中计算]

1.4(条件概率与乘法公式)

“第一次取一等品的两只”均为A所含样本点,共有

C C 12 ,其中两只均为一等品的为AB所含样本点,1 3 1 4

1 1 共有C3 C2 6, 故由古典概率公式得: ■

P( B | A)

6 12

1 2

.

AB

A

S

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1.4.1 条件概率

注意

(1)条件概率P(B|A)与无条件概率P(B)没有必然关系.(2)当B A时，有 (3)当AB = 时，有P (B A) P ( AB ) P ( A)

P ( B) P ( B A) P ( B) P ( B A)P(B) P ( A)

P ( B ).

P ( B A) 0 P ( B)

1.4(条件概率与乘法公式)

1.4.1 条件概率

(4)

0 P (B A)

P ( AB ) P ( A)

P ( A) P ( A)

1

不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公 理： (1) 非负性：对任意事件B,P(B | A) 0;

(2) 规范性：P( | A) = 1;(3) 可列可加性：设 B1 , B

2 , , B n , 事件两两互不 相容，则P ( Bi | A ) i 1

P ( Bi A )

i 1

所以,条件概率P(· A)也满足概率的所有其他性 | 质.

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1.4.1 条件概率

例如:( 4 ) P ( A1 A2 B ) P ( A1 B ) P ( A2 B ) P ( A1 A2 B );( 5 ) P ( A B ) 1 P ( A B ).(6 ) 可列可加性 的事件 , 则有 : 设 B1 , B 2 , , B n 是两两不相容

n P Bi A i 1

n

P ( B i A ).

i 1

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1.4.1 条件概率

【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 为80%,活25岁以上的概率为40%.如果现在有一 个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率.解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 则有所求概率为 P ( B A ) P ( AB ) .因为 P ( A ) 0 . 8 ,

P ( A)

P ( B ) 0 .4 ,

由于B A,

所以P(AB)=P(B),P ( AB ) P ( A)

所以 P ( B A )

0 .4 0 .8

1 2

.

1.4(条件概率与乘法公式)

1.4 条件概率与乘法公式

1.4.2

乘法公式

由条件概率公式容易得到下面定理.

定理1.1 设A与B是同一样本空间中的两个事件， 如果P(A) > 0,则P ( AB ) P ( B A ) P ( A )

(1.4) (1.5)

如果P(B) > 0,则P ( AB ) P ( A B ) P ( B )

上面均称为事件概率的乘法公式.定理1.1容易推广到求多个事件积事件概率的 情 况.

1.4(条件概率与乘法公式)

1.4.2 乘法公式

推广 1 :

设 A1 , A 2 , A 3 为事件 , 且 P ( A1 A 2 ) 0 , 则有

P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ).

事实上由于 P ( A1 ) P ( A1 A2 ) 0 ,

右侧的条件概率均有意义,

且P ( A1 A2 A3 ) P (( A1 A2 ) A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ).

可进一步推广如下:

1.4(条件概率与乘法公式)

1.4.2 乘法公式

推广 2 :

设 A1 , A 2 , , A n 为 n 个事件 , n 2 ,

且 P ( A 1 A 2 A n 1 ) 0 , 则有

P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A A1 A2 ) ... P ( An 1 A1 A2 An 2 ) P ( An A1 A2 An 1 ).

1.4(条件概率与乘法公式)

1.4.2 乘法公式

【例1.12】某厂的产品中有4%的废品，在100件合 格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一 件是一等品的概率.解：设A = “任取的一件是合格品”, B = "任取的一件是一等品". 因为P ( A ) 1 P ( A ) 96 %,

P ( B A ) 75 %

且B A

所以

P ( B ) P ( AB ) P ( A ) P ( B A ) 96 100 75 100 0 . 72 .

1.4(条件概率与乘法公式)

1.4.2 乘法公式

【例1.13】某人忘记了电话号码的最后一位数字， 因而他随意地拨号.求他拨号不超过三次而接通电 话的概率.若已知最后一位数字是奇数，那么此概 率又是多少？解：设Ai =“第i次接通电话”,i = 1,2,3,

B =“拨号不超过3次接通电话”,则事件B的表达式为 B A1 A1 A2 A1 A2 A3

利用概率的加法公式和乘法公式P ( B ) P ( A1 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 A3 1 9 1

9 8 1 3 . )10 10 9 10 9 8 10

P ( A1 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )