江苏南京师大附中2015届高三12月段考试卷数学试卷

江苏南京师大附中2015届高三12月段考试卷

数学 2014.12.30

注意事项：

本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．

．．．．．．．．1．在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为．

2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 ▲ ．

3．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：

ππ5π3

－，，则cos α＋＝ ▲ ． 4．若sin α＝，α∈ 4 22 5

5．直线xcos α3y＋2＝0(α∈R)的倾斜角的范围是

6．设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(－1)＝－1， 则f(2014)＝ ▲

7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i的值为

．

8．若等边三角形ABC的边长为23，平面内一点M满足

1 2

CM CB CA，则MA MB＝ ▲ ．

63

9．有下面四个判断：

①命题“设a、b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题； ②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；

③命题“ a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“ a、b∈R，a2＋b2≤2(a－b－1)”； 2

④若函数f(x)＝ln ax＋1的图象关于原点对称，则a＝3．

其中正确的有 ▲ 个．

x2y2

10．若双曲线－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的

a3实轴长为 ▲ ．

11135

11．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)f(16)＞3，

23n22

观察上述结果，可推测一般的结论为 ▲ ．

12．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，

SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为．

13．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为 ▲ ．

14．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x) 成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2．则数列的通项公式an＝ ▲ ．

．．．．．．．．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

1

设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且b2ac．

23

(1)求证：cos B≥；

4

(2)若cos(A－C)＋cos B＝1，求角B的大小

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，BC＝CC1，E，F分别为AB，AA1的中点．

(1)求证：直线EF∥平面BC1A1； (2)求证：EF⊥B1C．

17．(本小题满分14分)

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日

旅游人数f(t)（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足f(t) 4 ，人均消费g(t)（元）．．．与时间t（天）的函数关系近似满足g(t) 115 |t 15|．

（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t(1 t 30,t N)的函数关系式； ．．（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）． ．．18.（本小题满分16分）

x2y2

已知抛物线D的顶点是椭圆C：＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．

1615

（1）求抛物线D的方程；

（2）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点． ① 若直线l的斜率为1，求MN的长；

② 是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如 果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由． 19．（本小题满分16分） 设函数f(x) x

1

t

1

alnx(a R). x

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k 2 a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分）

记数列 an 的前n项和为Sn（n N*），若存在实常数A，B，C，对于任意正整数n，都有an Sn An2 Bn C成立．

（1）已知A B 0，a1 0，求证：数列 an （n N*）是等比数列；

（2）已知数列 an （n N*）是等差数列，求证：3A C B； （3）已知a1 1，B 0且B 1，B C 2．设 为实数，若 n N*，

求 的取值范围．

an

， an 1

南京师大附中2015届高三12月段考试卷

数 学 2014.12.30

注意事项：

本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．

．．．．．．．．π2π5π

1． 5 2． 3. 15.9 4．－ 5． 0≤θ≤≤θ<π. 6． 1 7． 4

810668．－2

9．对于①：此命题的逆否命题为“设a、b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，①错误；“p或q”为真，则p、q至少有一个为真命题，②错误；“ a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“ a、b∈R，a2＋b2<2(a－b－1)”，③错误；对于④：若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，则f(0)＝ln(a＋2)＝0，解得a＝－1，④错误． 答案 0

n＋22

10． 2 11． f(2n 12. .

26

13． 4

14． n·2n

．．．．．．．．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤． 15．

a2＋c2－b2

解 (1)因为cos B＝ ……………2分

2ac11

a2＋c2－ac2ac－2233

＝≥cos B ……6分

2ac2ac44(2)因为cos(A－C)＋cos B＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sin Asin C＝1， 1

所以sin Asin C＝ .……………8分

2111

又由b2＝，得sin2B＝sin Asin C＝， ……………10分

2243

又B∈(0，π)，且cos B≥>0,知B为为锐角 ……………12分

41π

故sin B＝B＝ .……………14分

26

16．（本小题满分14分）

证明 (1)由题知，EF是△AA1B的中位线， 所以EF∥A1B……………2分

由于EF 平面BC1A1，A1B 平面BC1A1，所以EF∥平面BC1A1. ……………6分

(2)由题知，四边形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1. ……8分 又∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，所以A1C1⊥C1B1.

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面A1C1B1，A1C1 平面A1C1B1，从而A1C1⊥CC1， 又CC1∩C1B1＝C1，CC1，C1B1 平面BCC1B1，所以A1C1⊥平面BCC1B1 又B1C 平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C. . ……………10分

因为A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1 平面BC1A1，所以B1C⊥平面BC1A1. ……………12分 又A1B 平面BC1A1，所以B1C⊥A1 …… 此处隐藏：4231字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……