12.期权定价的数值方法

第12章 期权定价的数值方法

第一节 二叉树期权定价模型

一、二叉树模型的基本方法(一)单步二叉树模型

Su p

S 1-p Sd

Copyright© Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

无套利定价法

构造投资组合包括△份股票多头和1份看涨期权空头 SuD – u SdD – d ,则组合为无风险组合

当Su△ – u = Sd △ – d

u f d Su SdCopyright© Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

无套利定价法(续)

组合在 T 时刻价值为 Su – u 组合现值应为： (Su – u )e–rT 组合现值的另外一个表达式为：S – f 因此： = S – (Su – u )e–rTCopyright© Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

无套利定价法(续)fu f d Su Sd

将

代入上式，可以得到：

f e其中：

r t

pf u 1 p f d er t

d p u d

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风险中性定价法在风险中性世界里： (1)所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； (2)未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。 在风险中性的条件下, 参数值满足条件：

Ser t pSu (1 p) Sd

er t pu (1 p)d同样可以推得：

f e r t pf u 1 p f d Copyright© Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

证券价格的树型结构Su4 Su3 Su2 Su S Sd Sd2 Sd3 Sd4 S S Sd Sd2 Su Su2

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倒推定价法

得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉 树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末 端T时刻开始往回倒推，为期权定价 值得注意的是，如果是美式期权，就要在树型 结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行 期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行 期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值 。

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举例说明

假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价 为50元,波动率为每年40%,无风险连续复利年 利率为10%,该股票5个月期的美式看跌期权协 议价格为50元，求该期权的价值。 利用倒退定价法，可以推算出初始结点处的期 权价值为4.48元。

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续

为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段， 每段一个月(等于0.0833年)。可以算出：u e d e t

1.1224 0.8909

t

e r t d p 0.5076 u d 1 p 0.4924

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美

式看跌期权二叉树70.70 0 62.99 56.12 50 A 4.48 2.15 44.55 6.95 0.63 50 3.76 39.69 B 10.35 D 56.12 1.30 C 44.55 6.37 35.36 14.64 79.35 0 62.99 0 50 2.66 39.69 10.31 31.51 18.50 E 89.07 0 70.70 0 56.12 0 44.55 5.45 35.36 G 14.64 28.07 21.93

F

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二叉树方法的一般定价过程

以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权 有效期划分成N个长度为 t 的小区间，令f ij (0 i N ,0 j i) 表示在时间 i t 时第j个结 点处的美式看跌期权的价值，同时用 Su j d i j

表示结点 (i, j ) 处的证券价格，可得：f N,j max( X Su j d N j , 0)

t 后 ，假定期权不被提前执行，则在风险中

性条件下：

fij e r t [ pfi 1, j 1 (1 p) fi 1, j ]

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支付连续红利率资产的期权定价

当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在 风险中性条件下，证券价格的增长率应该为rq,因此：

e ( r q ) t pu (1 p)d其中

p

e

( r q ) t

d u d

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支付已知红利率资产的期权定价

如果 i t 时刻在除权日之前，则结点处证券价 格仍为： j i j

Su d

, j 0,1, , i

如果 i t 时刻在除权日之后，则结点处证券价 格相应调整为： S (1 )u j d i j 对在期权有效期内有多个已知红利率的情况，S (1 i )u dj i j

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已知红利额Su S S-D Sd Su2-D

Sd2-D 除权日

假设红利数额已知且波动率为常数时的二叉树图Copyright© Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University