专题十立体几何解答题

第三部分 高考解答题训练 专题十 立体几何解答题训练

专题概览

承载着空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力考查的立体几 何试题，在历年的高考中被定位于中、低档难度，一般处在解答题 的第二至第四题的位置.立体几何每年都有一道解答题，主要考查空 间想象能力和逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，近三 年高考立体几何考查情况是： 2006 年高考 18 套试题中，有 19 道解答题 ( 江苏有 2 道，其中一道 是立体几何的实际应用性问题，需要建立3次函数，用导数来处理 ). 有11道锥体，3道柱体，2道折叠问题，1道二面角图形，另外，涉及 二面角的有10题. 返回目录

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2007 年高考 35 份试卷中，江苏省文理科合卷共命制立体几何试

题3道，其他各卷中，理科共命制立体几何49道，文科共命制立体几何试题50道，内容涉及各个方面. 2008年大纲卷15套试题中, 每套题都命制了立体几何解答题, 一

般处在大题的一至四道的位置, 其中上海、浙江在第一大题, 有四套处于第二题, 江西卷处于大题第四道, 其余8套试题均处于解答题的第 三道题的位置.15套题中都涉及到求角的问题, 其中13套都有求二面角 的平面角的问题, 另一问主要涉及线面位置关系的证明, 包括直线与 平面垂直的证明、平面与平面垂直的证明、直线与平面平行的证明 及四点共面的证明等, 此外还涉及异面直线的距离、点到平面的距离、 体积的计算等. 返回目录

专题概览经过30来年的命题实践, 总结成功的经验, 吸取精华, 达成了一些共识：(1)以选择题、填空题的形式考查基础知识，如线面关系的判 断(常与命题、充要条件等融合), 空间角(3种)与距离(8种)的求解, 体 积及面积的计算等 .(2)以解答题的形式考查立体几何的综合问题 , 如 空间平行与垂直关系的讨论, 空间角和距离的求解, 体积的计算等. 总结近几年高考题的命题特点, 可以看出：解答题在考查中经常 涉及的知识及题型有：①证明“平行”和“垂直”;②求多面体的 体积；③三种角的计算；④有关距离的计算；⑤多面体表面积的计 算.这类问题的解法主要是化归思想, 如两条异面直线所成的角转化为 两相交直线所成的角, 面面距离转化为线面距离, 再转化为点面距离. 返回目录

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立体几何解答题的设计 , 注意了求解方法既可用向量方法处理 ,

又可用传统的几何方法解决, 并且一般来说, 向量方法比用传统方法解决较为简单. 由于立体几何解答题属于常规题、中档题, 因而, 立体几何的复 习应紧扣教材, 熟练掌握课本中的每一个概念、每一个定理的种种用 途, 突破画图、读图、识图、用图的道道难

关, 同时要注意总结证明

垂直、平行的常用方法和技巧, 掌握角、距离、面积、体积等的转化和计算方法, 在做题的过程中进行反思, 在反思中总结、提炼, 不断提 升空间想象能力及分析问题和解决问题的能力. 返回目录

模拟训练

1. (2008·北京东城区)已知正方形ABCD, 沿对角线BD将△ABD 折起, 使点A到点A1的位置, 且二面角A1—BD—C为直二面角.

(Ⅰ)求二面角A1—BC—D(Ⅱ)求异面直线A1D与BC所成角的大小; (Ⅲ)求直线BD与平面A1BC所成角的大小. 【解析】 解法1: (Ⅰ)设O为BD中点, 连结A1O, ∵A1D=A1B, ∴A1O⊥BD.

又二面角A1—BD—C是直二面角，返回目录

模拟训练∴A1O⊥平面BCD,过O作OE⊥BC,垂足为E,连结A1E, 由三垂线定理可知A1E⊥BC.

∴∠A1EO为二面角A1—BC—D的平面角,设正方形ABCD边长为2, 则A1O= 2 , OE=1, ∴tan∠A1EO ∴二面角A1—BC—D的大小为arctan 2 . (Ⅱ)连结A1A,∵AD∥BC,A1O 2. OE

∴∠A1DA为异面直线A1D与BC所成的角，返回目录

模拟训练∵A1O⊥平面ABCD, 且O为正方形ABCD的中心， ∴A1—ABCD为正四棱锥. ∴A1A=A1D,

又AD=A1D, ∴∠A1DA=60°,∴异面直线A1D与BC所成角的大小为60°. (Ⅲ)易知BC⊥平面A1OE, ∴平面A1OE⊥平面A1BC,

过点O作OF⊥A1E, 垂足为F, 连结BF, 则OF⊥平面A1BC,∴∠OBF为直线BD与平面A1BC所成的角, 设正方形ABCD边长为2, 则BO= 2 , OF=6 , 3

∴sin∠OBF= OF 3 .BO 3

∴直线BD与平面A1BC所成角的大小为arcsin 3 .3

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模拟训练解法2:(Ⅰ)连结AC, 交BD于点O, 连结A1O, 又∵A1D=A1B, O为BD中点, ∴A1O⊥BD. 又二面角A1—BD—C是直二面角, ∴平面A1BD⊥平面BCD,

∴A1O⊥平面BCD,又∵OC⊥BD.∴可建立如图的空间直角坐标系O—xyz, 设OC=1, 则A1(0,0,1),B(0,-1,0),C(1,0,0), 设n=(x,y,z)为平面A1BC的一个法向量, 则n⊥ A1 B , n⊥ A1C , 又 A1 B =(0,-1,-1), A1C =(1,0,-1),

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模拟训练 y z 0, ∴ x z 0.

令x=1,则y=-1, z=1.

得n=(1,-1, 1).

又 OA1=(0,0,1)是平面BCD的一个法向量,

设二面角A1-BC-D的大小为θ,由cos〈n, OA1〉 n OA1 | n | | OA1 | 1 3 1 3 . 3

∴cosθ=

3 . ∴二面角A1-BC-D的大小为arccos 3

3 . 3

(Ⅱ)由D(0,1,0)可得 DA1=(0,-1,1), 又 CB =(-1,-1,0),

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模拟训练∴cos〈DA1 , CB 〉=DA1 CB | DA1 | | CB | 1 2 2 1 . 2

∴异面直线A1D与BC所成角的大小为60°.(Ⅲ)由 BD=(0,2,0),又n=(1,-1,1)为平面A1BC的一个法向量, 则|cos〈n, BD〉| | n BD | | n | | BD | 2 3 2 3 . 3

∵直线BD与平面A1BC所成的角与〈n, BD 〉互余， ∴直线BD与平面A1BC所成角的大小为arcsin 3 .3

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模拟训练2. (2008· 湖北黄冈 ) 如图已知四棱锥 P - ABCD 的底面是正方形 , PA⊥底面ABCD, PA=AD=2

,点 M 、 N分别在棱 PD、PC 上，且PC⊥ 平面AMN. (Ⅰ)求证：AM⊥PD (Ⅱ)求二面角P-AM-N (Ⅲ)求直线CD与平面AMN所成的角的大小. 【解析】 (Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD⊥AD,又因PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD, 故CD⊥平面PAD. 又AM 平面PAD, 则CD⊥AM,而PC⊥平面AMN, 有PC⊥AM,

则AM⊥平面PCD, 故AM⊥PD.返回目录

模拟训练(Ⅱ)∵AM⊥平面PCD(已证), ∴AM⊥PM,AM⊥NM, 故∠PMN为二面角的P-AM-N平面角. 又因PN⊥平面AMN,∴PN⊥NM. 在Rt△PCD中, CD=2, PD= 2 2 , 则PC= 2 3 , ∵PA=AD,AM⊥PD,∴M为PD的中点, 则 PM CD PM , PC 则cos∠PMN MN CD 2 3 , PM PC 2 3 3 故∠PMN=arccos 3 , 3 所以二面角P-AM-N为arccos 3 . 3 1 PD 2 , 2

由Rt△PMN∽Rt△PCD,得 MN

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模拟训练(Ⅲ)延长NM、CD交于点E,∵PC⊥平面AMN, ∴NE为CE在平面AMN内的射影， ∴∠CEN为CD(即CE)与平面AMN所成的角， 又CD⊥PD,EN⊥PN, 则有∠CEN=∠MPN, 在Rt△PMN中,

∵sin∠MPN MN 3 ,PM 3 且∠MPN (0, π ) , 2 3 ∴∠MPN= arcsin , 3

故CD与平面AMN所成的角为arcsin

3 . 3

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模拟训练3. (2008·北京丰台区)如图，已知DA⊥平面ABE,四边形ABCD是 边长为2的正方形，AE=EB,F是CE上的点，且BF⊥平面ACE. (Ⅰ) 求证：AE⊥平面BCE (Ⅱ) 求二面角B-AC-E的大小； (Ⅲ) 求点D到平面ACE的距离. 【解析】 (Ⅰ)证明: ∵ BF⊥平面ACE, ∴BF⊥AE.

∵DA⊥平面ABE, ∴DA⊥AE.∵四边形ABCD是正方形, ∴BC∥AD,∴BC⊥AE. ∵BC∩BF=B, ∴AE⊥平面BCE. 返回目录

模拟训练(Ⅱ) 连结BD交AC于点O,连结OF. ∵ 正方形ABCD的边长为2, ∴BO⊥AC,且BO= 2 . ∵BF⊥平面ACE, ∴由三垂线定理的逆定 …… 此处隐藏：2549字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……