电子技术基础数字部分第五版(康华光)2 .逻辑代数

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第2章 逻辑代数2.1 逻辑代数

2.2 逻辑函数的简化

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教学基本要求1、熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式 和规则。 2、掌握逻辑代数的变换和逻辑函数的简化 方法。

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2.1

逻辑代数

2.1.1 逻辑代数的基本概念 2.1.2 逻辑代数的基本定律和恒等式 2.1.3 2.1.4 逻辑代数的基本规则 逻辑函数表达式的形式与变换

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2.1

逻辑代数

2.1.1 逻辑代数的基本概念 逻辑代数是研究数字系统逻辑设计的基础理 论。因为任何形式的数字系统都是由一些基本的 逻辑电路组成的。而为了描述这些逻辑电路，解 决数字系统分析和设计中的各种具体问题，就必 须掌握逻辑代数这一重要数学工具。 逻辑代数是从哲学领域中的逻辑学发展而来 的，逻辑学是研究逻辑思维和推理的一门学科。 人们为了摆脱逻辑学研究中繁琐的文字描述，使 用了一套有效的符号来建立逻辑思维的数学模型， 从而将复杂的逻辑问题抽象为一种简单的符号演 算。4

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这一理论首先是由莱布尼兹(Leibniz)最先提出 来的。乔治.布尔(G.Boole)总结了前人的研究成果， 在1847年进行了系统的论述，这就是有名的“布尔代 数”。到20世纪初，布尔代数已发展成了一门纯数学 的分支学科。此后于1938年，克劳德.向农 (C.E.Shannon)将布尔代数直接应用于电话继电器 的开关电路，提出了“开关代数”。1952年前后，维奇(Veitch)和卡诺(Karnaugh) 先后提出了图解法的概念和方法，产生了卡诺图—— 这一工程上十分有用的逻辑工具，使布尔代数得到了 进一步的丰富和发展5

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随着电子工业技术的发展，集成电路逻辑门 已取代了机械触点开关，故“开关代数”已很少 用。为了与“数字系统逻辑设计”这一术语相应， 人们更习惯将“开关代数”叫做“逻辑代数”。 可以说，逻辑代数是布尔代数向电子工程领域延 伸的结果。目前，逻辑代数已成为研究和设计数 字系统的不可缺少的主要数学工具。 逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用 于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的 化简、变换、分析和设计。 逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间 的因果关系。在数字电路中往往是将事情的条件 作为输入信号，而结果用输出信号表示。条件和 结果的两种对立状态分别用逻辑“1” 和“0”表 示。6

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一、逻辑变量：逻辑代数是由一个逻辑变量集P、常量0、 1和“与”、“或”、“非”三种运算所构成 的代数系统。 其中，逻辑变量集是指逻辑代数中的所 有变量的集合。它可以用任何字母表示，但 每一个变量的取值只可能为常量0或1。

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注意：此处的“0”和“1”不象普通代数那 样具有数值大

小的意义，而仅仅是表明两种对立 的逻辑状态的符号。 逻辑代数中的基本逻辑关系只有三种： “与”、“或”、“非”。 逻辑代数与普通代数不同，在后者中，变量 的取值可以是任意实数，而前者则是一种二值代 数。

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二、逻辑运算共有三种：“与”运算、“或”运 算和“非”运算。

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1. 与运算 - 用开关串联电路实现 定义：某事件有若干个条件，只有当所有条件全部满 开关A、B控制灯泡L,只有当A和B同时闭合时，灯泡才能点亮。 足时，这件事才发生。A B B 0

B L = A·L 0

A E(a)

B

A 0

L

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

A

B

灯

不通 不通 通 通

不通 通 不通 通

不亮 不亮 不亮 亮

& (b)

·

图1.5.1 与逻辑运算

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与逻辑符号： A B 逻辑表达式： L A B L = A · = AB B11

&

L

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定义：某事件有若干个条件，只要其中一个或一个以 -用开关并联电路实现 2. 或运算 上的条件得到满足，这件事就发生。 只要开关A和B中有一个闭合，或两个都闭合，灯泡就会亮。A A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 L=A+B 0 1 1 1

E

B

L

A 不通 不通 通 通

B 不通 通 不通 通

灯 不亮 亮 亮 亮 A B(d)

≥1 L=A+B

图1.5.2 或逻辑运算

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3. 非运算

定义：某一事件的产生取决于条件的否定， 这种关系称为非逻辑。

下图表示一个简单的非逻辑电路，当继电器通电，灯泡熄 灭；继电器不通电，灯泡点亮。

A

继电器 A

灯

A 0 1

L A

图1.5.3 非逻辑运算 不通电 亮NC E

1 0

L(a)

通电

不亮

(b)

(c)

图1.5.3

非逻辑运算

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非逻辑符号A1

L

A

L

逻辑表达式

L=A14

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4. 几种常用复合逻辑运算(1)与非运算与非逻辑符号 两输入变量与非 逻辑真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 L 1 1 1 0

AB A B

&

L

L

与非逻辑表达式

L= A· B15

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(2)或非运算 或非逻辑符号 两输入变量或非 逻辑真值表 A B L A≥1

L

B 00 1

01 0

10 0

A B 或非逻辑表达式

L

1

1

0

L = A+B16