第2章2.1.2第一课时指数函数图像及性质

2.1.2

指数函数及其性质

第一课时 指数函数的图象及性质

学习目标

1.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出指数函数图象.

2.初步掌握指数函数的有关性质.

课前自主学案

第一课时

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基1.设 a∈{1,2,3,4},按对应关系 a→2a 对应，则 2a 的 {2,4,8,16}. 取值集合为__________ 1a 1a 2.设 a∈{1,2,3,4},按对应关系 a→( ) 对应，则( ) 2 2 1 1 1 1 的取值集合为{ , , , }. 2 4 8 16 1 -2 y轴 3.点 A(2,2 )与 B(-2,( ) )关于______对称. 22

知新益能 1.指数函数 指数函数 一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做___________, x R 其中___为自变量，函数的定义域为___. 2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质

a>1图 象

0<a<1

性 质

R (0,+∞) 定义域为__;值域为___________ (0,1) x=0 y=1 过定点_____,即_____时，_____ y>1 0<y<1 若x>0,则______; 若x>0,则________; 0<y<1 y>1 若x<0,则________ 若x<0,则______ 增函数 减函数 在R上是________ 在R上是________

问题探究 1.函数y=3·x是指数函数吗？ 5提示：只有形如y=ax(a>0,a≠1)的函数才是指

数函数，y=3·x不符合指数函数的定义，不是指 5数函数.

2.指数函数y=2x与y=3x有何不同？提示：在第一象限y=3x图象始终在y=2x图象上

方，在第二象限y=3x图象又在y=2x图象下方.

课堂互动讲练

考点突破 指数函数的概念 根据指数函数的概念，判断一个函数是否为指 数函数. 例1 函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，求a的 值，并写出这个指数函数. 【思路点拨】 令a2-3a+3=1且a>0,a≠1, 才符合指数函数的定义.

【解】 由 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数， 2 a -3a+3=1 可得 , a>0且a≠1 a=1或a=2 解得 , a>0且a≠1

∴a=2.∴指数函数为 y=2 .

x

【名师点拨】 判断一个函数是否为指数函 数只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且 a≠1)这一形式，否则就不是指数函数.

指数函数的图象

指数函数y=ax的图象必须看底数a的取值，结合图象变换作出与指数函数有关的图象.例2 若函数y=ax +b-1(a>0,且a≠1)的图

象经过第二、三、四象限，则一定有( A.0<a<1,且b>0 C.0<a<1,且b<0

)

B.a>1,且b>0 D.a<1,且b>0

【思路点拨】 根据题意画出函数y=ax+b-1的大 致图象，借助函数的单调性及图象过定点来解决. 【解析】 根据题意画出函数y=ax +b-1(a>0, 且a≠1)的大致图象，如图所示.所以0<a<1,且 f(0)=1+b-1<0,即0<a<1,且b<0,故选C.

【答案】

C

【名师点拨】

解决此类问题的关键是熟练

掌握函数y=ax(

a>0,且a≠1)的单调性与底 数a的关系，以及函数y=ax恒过定点(0,1)的灵

活应用，要注意数形结合思想的应用.

互动探究1 本例将“图象经过第二、三、四象限”改 为“图象经过第一、三、四象限”,试确定a和b的取值 范围. 解：y=ax的图象在第一、二象限内，欲使其图象在 第一、三、四象限内，必须将y=ax向下移动.而当0 <a<1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象 限或第二、三、四象限.只有当a>1时，图象向下移 动才可能经过第一、三、四象限，故a>1.又图象向 下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象 限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一 、三象限.欲使图象经过第一、三、四象限，则必须 向下平移超过一个单位，故b-1<-1,∴b<0. 即a和b的取值范围分别为a>1,b<0.

有关指数函数的定义域、值域此类题目是有指数函数y=ax参与的求函数的 定义域、值域问题.例3 求下列函数的定义域与值域：

2x-1 (1)y=2x-4;(2)y= x . 2 +11

1 【思路点拨】 求定义域→求 或 2x 的取值范围→ x-4 确定函数的值域.

【解】

(1)定义域：∵x-4≠0,∴x≠4,1

∴函数 y=2x- 4的定义域为{x|x≠4}.1 1 1 值域：∵ ≠0,∴2x- 4>0 且 2x- 4≠1, x-4

∴函数 y=2x- 4的值域为{y|0<y<1,或 y>1}.

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